Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Получаем:
dhF i
dt
= h
∂Ψ
∂t
|
ˆ
F |Ψi + hΨ|
∂
ˆ
F
∂t
|Ψi + hΨ|
ˆ
F |
∂Ψ
∂t
i =
=
i
~
h
ˆ
HΨ|
ˆ
F Ψi + hΨ|
∂
ˆ
F
∂t
|Ψi −
i
~
hΨ|
ˆ
F |
ˆ
HΨi =
= hΨ|
∂
ˆ
F
∂t
|Ψi +
i
~
(hΨ|
ˆ
H
ˆ
F |Ψi −
i
~
hΨ|
ˆ
F
ˆ
H|Ψi) =
= hΨ|
∂
ˆ
F
∂t
+
i
~
[
ˆ
H,
ˆ
F ]|Ψi ≡ hΨ|
d
ˆ
F
dt
|Ψi.
Здесь введен оператор изменения физической величины во времени
d
ˆ
F
dt
=
∂
ˆ
F
∂t
+
i
~
[
ˆ
H,
ˆ
F ].
Если
d
ˆ
F
dt
= 0, то hF i = const. В таком случае говорят, что F –
это сохраняющаяся величина, интеграл движения.
Если
1)
ˆ
F не зависит от t явно, то есть
∂
ˆ
F
∂t
= 0,
2) [
ˆ
H,
ˆ
F ] = 0,
то F – интеграл движения.
Примеры:
1.
ˆ
F =
ˆ
H и
ˆ
H не зависит от t (гамильтониан замкнутой системы)
– полная энергия замкнутой системы сохраняется.
2. ˆp = −i~
d
dx
. Если
ˆ
H =
ˆp
2
2m
(свободное движение), то импульс p
сохраняется.
3. ˆp = −i~
d
dx
,
ˆ
H =
ˆp
2
2m
+ U (x). Оператор ˆp не зависит от t. Вы-
числим коммутатор
[
ˆ
H, ˆp] = [U(x), ˆp].
29
Получаем:

            dhF i    ∂Ψ               ∂ F̂               ∂Ψ
                  =h    |F̂ |Ψi + hΨ|      |Ψi + hΨ|F̂ |    i=
             dt      ∂t               ∂t                 ∂t

                i                  ∂ F̂      i
            =     hĤΨ|F̂ Ψi + hΨ|      |Ψi − hΨ|F̂ |ĤΨi =
                ~                  ∂t        ~

                    ∂ F̂      i               i
            = hΨ|        |Ψi + (hΨ|Ĥ F̂ |Ψi − hΨ|F̂ Ĥ|Ψi) =
                    ∂t        ~               ~

                    ∂ F̂  i                   dF̂
            = hΨ|        + [Ĥ, F̂ ]|Ψi ≡ hΨ|     |Ψi.
                    ∂t    ~                   dt
Здесь введен оператор изменения физической величины во времени

                           dF̂   ∂ F̂  i
                               =      + [Ĥ, F̂ ].
                           dt    ∂t    ~

          dF̂
   Если         = 0, то hF i = const. В таком случае говорят, что F –
           dt
это сохраняющаяся величина, интеграл движения.
   Если
                                         ∂ F̂
   1) F̂ не зависит от t явно, то есть        = 0,
                                         ∂t
   2) [Ĥ, F̂ ] = 0,
   то F – интеграл движения.

   Примеры:

   1. F̂ = Ĥ и Ĥ не зависит от t (гамильтониан замкнутой системы)
– полная энергия замкнутой системы сохраняется.
                d              p̂2
   2. p̂ = −i~ . Если Ĥ =          (свободное движение), то импульс p
               dx             2m
сохраняется.
                d        p̂2
   3. p̂ = −i~ , Ĥ =        + U (x). Оператор p̂ не зависит от t. Вы-
               dx        2m
числим коммутатор
                           [Ĥ, p̂] = [U (x), p̂].




                                     29

Страницы