Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 54 стр.

Таким образом условие полноты базиса выглядит следующим обра-
зом:                           Z
                   X
                       |nihn| + |f ihf |df = 1.
                          n

Домножая слева на hψ| и справа на |ψi, получаем
             X               Z
                hψ|nihn|ψi + hψ|f ihf |ψidf = hψ|ψi,
                 n

или                               Z
                     X
                          |cn |2 + |c(f )|2 df = hψ|ψi.
                      n

   IV постулат. Если состояние системы описывается вектором ψ,
нормированным на единицу,

                                   hψ|ψi = 1,

то cn и c(f ) – это амплитуды вероятности получить fn и f , соответ-
ственно, при измерении F в состоянии |ψi.
    Набор амплитуд hn|ψi ≡ hfn |ψi = ψ(n) и hf |ψi = ψ(f ) называется
волновой функцией в f -представлении.
    Теорема. Пусть физической величине F соответствует оператор
F̂ (F̂ + = F̂ ) и пусть
                              X         Z
                        |ψi =   cn |ni + c(f )|f idf,
                               n

где амплитуды
                        cn = hn|ψi,      c(f ) = hf |ψi
представляют собой волновую функцию в f -представлении. Тогда

                              hf |F̂ ψi = f hf |ψi,

т.е. в f -представлении результат действия оператора F̂ на произволь-
ный вектор |ψi сводится к умножению вектора |ψi в f -представлении
на f .
    Доказательство:

         hf |F̂ ψi = hψ|F̂ + f i∗ = hψ|F̂ f i∗ = f hψ|f i∗ = f hf |ψi.

                                       54