Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Собственные векторы и собственные значения оператора
координаты
Рассмотрим задачу о собственных векторах и собственных зна-
чениях оператора координаты
ˆ
r:
ˆ
r|r
0
i = r
0
|r
0
i,
где r
0
– действительный радиус-вектор, а |r
0
i – собственный век-
тор, отвечающий собственному значению r
0
. Домножая справа на
hr|, получаем
hr|
ˆ
r|r
0
i = r
0
hr|r
0
i.
В силу только что доказанной теоремы
rhr|r
0
i = r
0
hr|r
0
i,
или, иначе,
rψ
r
0
(r) = r
0
ψ
r
0
(r).
Здесь r – произвольный радиус-вектор, а r
0
– фиксированный
радиус-вектор (собственное значение). Легко видеть, что функция
ψ
r
0
(r) = δ(r − r
0
)
является искомой собственной функцией оператора координаты
ˆ
r в
координатном представлении. Эта функция не может быть нормиро-
вана на единицу, поэтому состояние, описывающееся такой волновой
функцией, не может быть осуществлено.
Условие полноты собственных векторов оператора координаты
имеет вид:
Z
|rihr|d
3
r = 1.
Домножая слева на hϕ|, а справа – на |ψi, получаем
Z
hϕ|rihr|ψid
3
r = hϕ|ψi,
то есть
Z
ϕ
∗
(r)ψ(r)d
3
r = hϕ|ψi.
55
   Собственные векторы и собственные значения оператора
координаты

   Рассмотрим задачу о собственных векторах и собственных зна-
чениях оператора координаты r̂:

                            r̂|r0 i = r0 |r0 i,

где r0 – действительный радиус-вектор, а |r0 i – собственный век-
тор, отвечающий собственному значению r0 . Домножая справа на
hr|, получаем
                       hr|r̂|r0 i = r0 hr|r0 i.
В силу только что доказанной теоремы

                          rhr|r0 i = r0 hr|r0 i,

или, иначе,
                         rψr0 (r) = r0 ψr0 (r).
Здесь r – произвольный радиус-вектор, а r0 – фиксированный
радиус-вектор (собственное значение). Легко видеть, что функция

                          ψr0 (r) = δ(r − r0 )

является искомой собственной функцией оператора координаты r̂ в
координатном представлении. Эта функция не может быть нормиро-
вана на единицу, поэтому состояние, описывающееся такой волновой
функцией, не может быть осуществлено.
   Условие полноты собственных векторов оператора координаты
имеет вид:                Z
                            |rihr| d3 r = 1.

Домножая слева на hϕ|, а справа – на |ψi, получаем
                    Z
                      hϕ|rihr|ψi d3 r = hϕ|ψi,

то есть              Z
                         ϕ∗ (r)ψ(r)d3 r = hϕ|ψi.



                                    55

Страницы