Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Лекция №10. Матричные представления. Еще раз
о линейном осцилляторе
Операторы-матрицы и векторы-столбцы
В случае, когда спектр оператора является дискретным, возни-
кают матричные представления. Пусть
ˆ
H|ni = E
n
|ni, |ni ≡ |ψ
n
i,
где n = 0, 1, 2 . . . – индекс состояний дискретного спектра. Из условия
полноты
X
n
|nihn| = 1
следует, что произвольный вектор состояния |ψi может быть разло-
жен по собственым векторам |ni следующим образом
|ψi =
X
n
|nihn|ψi.
Волновая функция hn|ψi в данном n-представлении является столб-
цом
hn|ψi =
°
°
°
°
°
°
h1|ψi
h2|ψi
. . .
°
°
°
°
°
°
Операторы в n-представлении являются матрицами
hn|
ˆ
A|ψi =
X
n
0
hn|
ˆ
A|n
0
ihn
0
|ψi =
=
X
n
0
A
nn
0
hn
0
|ψi =
°
°
°
°
°
°
A
11
A
12
. . .
A
21
A
22
. . .
. . . . . . . . .
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
h1|ψi
h2|ψi
. . .
°
°
°
°
°
°
.
Рассмотрим условие эрмитовости оператора
ˆ
F . По определению,
hn|
ˆ
F |n
0
i = h
ˆ
F
+
n|n
0
i = hn
0
|
ˆ
F
+
|ni
∗
.
В матричных обозначениях это переписывается так:
F
nn
0
=
¡
F
+
¢
∗
n
0
n
,
56
Лекция №10. Матричные представления. Еще раз
            о линейном осцилляторе

   Операторы-матрицы и векторы-столбцы

   В случае, когда спектр оператора является дискретным, возни-
кают матричные представления. Пусть

                        Ĥ|ni = En |ni,         |ni ≡ |ψn i,

где n = 0, 1, 2 . . . – индекс состояний дискретного спектра. Из условия
полноты                          X
                                     |nihn| = 1
                                   n

следует, что произвольный вектор состояния |ψi может быть разло-
жен по собственым векторам |ni следующим образом
                              X
                        |ψi =   |nihn|ψi.
                                       n

Волновая функция hn|ψi в данном n-представлении является столб-
цом                            °       °
                               ° h1|ψi °
                               °       °
                       hn|ψi = °       °
                               ° h2|ψi °
                               ° ... °
Операторы в n-представлении являются матрицами
                   X
        hn|Â|ψi =   hn|Â|n0 ihn0 |ψi =
                        n0
                                  °                         °°        °
              X                   ° A11         A12   ...   ° ° h1|ψi °
                                  °                         °°        °
          =        Ann0 hn0 |ψi = °
                                  ° A21         A22   ...   ° ° h2|ψi ° .
                                                            °°        °
              n0                  ° ...         ...   ...   °° ...    °

   Рассмотрим условие эрмитовости оператора F̂ . По определению,

                    hn|F̂ |n0 i = hF̂ + n|n0 i = hn0 |F̂ + |ni∗ .

В матричных обозначениях это переписывается так:
                              ¡ ¢∗
                       Fnn0 = F + n0 n ,
                                           56

Страницы