Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

или
¡
F
+
¢
nn
0
= (F
∗
)
n
0
n
=
³
¡
F
T
¢
∗
´
nn
0
.
Таким образом, если оператор эрмитов, то есть если
ˆ
F =
ˆ
F
+
, то
F =
¡
F
T
¢
∗
≡ F
+
.
Следовательно эрмитовому оператору соответствует эрмитовая мат-
рица.
Найдем результат последовательного действия операторов
ˆ
A и
ˆ
B:
hn|
ˆ
A
ˆ
B|n
0
i =
X
n
00
hn|
ˆ
A|n
00
ihn
00
|
ˆ
B|n
0
i =
X
n
00
A
nn
00
B
n
00
n
0
.
Таким образом матрица оператора, равного произведению операто-
ров
ˆ
A и
ˆ
B, равна произведению матриц, соответствующих этим опе-
раторам.
Унитарные преобразования
Посмотрим теперь, как изменяются матричные представления
при переходе от одного дискретного базиса к другому.
Пусть спектры операторов
ˆ
L и
ˆ
M дискретны:
ˆ
L|λi = λ|λi,
ˆ
M|µi = µ|µi.
Вектор состояния |ψi может быть разложен как по базисным векто-
рам |λi, так и по базисным векторам |µi, то есть
|ψi =
X
λ
|λihλ|ψi =
X
µ
|µihµ|ψi.
Обозначим
hλ|ψi = ψ
λ
, hµ|ψi = ψ
0
µ
.
Тогда
ψ
0
µ
= hµ|ψi =
X
λ
hµ|λihλ|ψi =
X
λ
U
µλ
ψ
λ
,
57
или              ¡        ¢                      ³¡        ¢∗ ´
                     F+   nn0
                                = (F ∗ )n0 n =        FT                .
                                                                  nn0

Таким образом, если оператор эрмитов, то есть если F̂ = F̂ + , то
                            ¡ ¢∗
                        F = F T ≡ F +.

Следовательно эрмитовому оператору соответствует эрмитовая мат-
рица.
   Найдем результат последовательного действия операторов Â и B̂:
                       X                            X
        hn|ÂB̂|n0 i =   hn|Â|n00 ihn00 |B̂|n0 i =   Ann00 Bn00 n0 .
                          n00                               n00

Таким образом матрица оператора, равного произведению операто-
ров Â и B̂, равна произведению матриц, соответствующих этим опе-
раторам.

   Унитарные преобразования

   Посмотрим теперь, как изменяются матричные представления
при переходе от одного дискретного базиса к другому.
   Пусть спектры операторов L̂ и M̂ дискретны:

                                    L̂|λi = λ|λi,

                                    M̂ |µi = µ|µi.

Вектор состояния |ψi может быть разложен как по базисным векто-
рам |λi, так и по базисным векторам |µi, то есть
                        X            X
                  |ψi =   |λihλ|ψi =     |µihµ|ψi.
                                λ                 µ

   Обозначим
                      hλ|ψi = ψλ ,             hµ|ψi = ψµ0 .
Тогда                               X             X
              ψµ0 = hµ|ψi =          hµ|λihλ|ψi =   Uµλ ψλ ,
                                     λ                      λ




                                          57

Страницы