Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

так что
X
λ
hλ|ψi
∗
hλ|ψi =
X
λ
ψ
∗
λ
ψ
λ
= 1,
есть условие нормировки волновой функции в λ-представлении.
Опуская индексы, мы можем записать это так:
ψ
+
ψ = 1.
Аналогично
ψ
0+
ψ
0
= 1
есть условие нормировки волновой функции в µ-представлении. Под-
ставляя в это равенство разложения
ψ
0
= Uψ,
ψ
0+
= ψ
+
U
+
,
получаем
(ψ
+
U
+
)(Uψ) = 1.
Это и означает, что U
+
U = 1, то есть что матрица U – унитарная.
Среднее значение hAi, получаемое при измерении физической ве-
личины A, определяется матричным элементом:
hAi = hψ|
ˆ
A|ψi =
X
λ,λ
0
hψ|λihλ|
ˆ
A|λ
0
ihλ
0
|ψi =
X
λ,λ
0
ψ
∗
λ
A
λλ
0
ψ
λ
0
= ψ
+
Aψ,
где A
λλ
0
(A) – матрица оператора
ˆ
A в λ-представлении. Аналогично
hAi =
X
µ,µ
0
ψ
0∗
µ
A
µµ
0
ψ
0
µ
0
= ψ
0+
A
0
ψ
0
,
где A
µµ
0
(A
0
) – матрица оператора
ˆ
A в µ-представлении. Но так как
среднее значение физической величины не зависит от выбора базис-
ных векторов, то
hAi = ψ
+
Aψ = ψ
0+
A
0
ψ
0
.
Поскольку
ψ
0+
= ψ
+
U
+
, ψ
0
= Uψ,
то
hAi = ψ
+
Aψ = ψ
+
U
+
A
0
Uψ.
59
так что            X                         X
                          hλ|ψi∗ hλ|ψi =           ψλ∗ ψλ = 1,
                    λ                        λ

есть условие нормировки волновой функции в λ-представлении.
Опуская индексы, мы можем записать это так:

                                    ψ + ψ = 1.

Аналогично
                                    ψ 0+ ψ 0 = 1
есть условие нормировки волновой функции в µ-представлении. Под-
ставляя в это равенство разложения

                                ψ 0 = U ψ,

                                ψ 0+ = ψ + U + ,
получаем
                              (ψ + U + )(U ψ) = 1.
Это и означает, что U + U = 1, то есть что матрица U – унитарная.
   Среднее значение hAi, получаемое при измерении физической ве-
личины A, определяется матричным элементом:
                   X                          X
  hAi = hψ|Â|ψi =   hψ|λihλ|Â|λ0 ihλ0 |ψi =   ψλ∗ Aλλ0 ψλ0 = ψ + Aψ,
                   λ,λ0                               λ,λ0


где Aλλ0 (A) – матрица оператора Â в λ-представлении. Аналогично
                        X
                  hAi =    ψµ0∗ Aµµ0 ψµ0 0 = ψ 0+ A0 ψ 0 ,
                             µ,µ0


где Aµµ0 (A0 ) – матрица оператора Â в µ-представлении. Но так как
среднее значение физической величины не зависит от выбора базис-
ных векторов, то
                       hAi = ψ + Aψ = ψ 0+ A0 ψ 0 .
Поскольку
                          ψ 0+ = ψ + U + ,    ψ 0 = U ψ,
то
                     hAi = ψ + Aψ = ψ + U + A0 U ψ.
                                        59

Страницы