Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Одновременная измеримость величин
Вернемся к теореме об одновременной измеримости величин (лек-
ция 4).
Теорема. Если [
ˆ
F ,
ˆ
G] = 0, то F и G одновременно измеримы. То
есть существует общая система собственных векторов операторов
ˆ
F
и
ˆ
G:
ˆ
F |ni = F
n
|ni,
ˆ
G|ni = G
n
|ni.
Доказательство. Пусть |ni – собственные векторы оператора
ˆ
F ,
отвечающие собственным значениям f
n
, то есть
ˆ
F |ni = f
n
|ni.
Условие коммутативности операторов
ˆ
F и
ˆ
G
ˆ
F
ˆ
G =
ˆ
G
ˆ
F
в n-представлении принимает вид:
f
n
G
nn
0
= G
nn
0
f
n
0
⇔ (f
n
− f
n
0
)G
nn
0
= 0.
Если спектр оператора
ˆ
F невырожден, то f
n
6= f
n
0
при n 6= n
0
,
т.е. G
nn
0
= 0 при n 6= n
0
и, следовательно,
G
nn
0
= g
n
δ
nn
0
⇔
ˆ
G|ni = g
n
|ni
в соответствии с утверждением теоремы. Именно этот случай невы-
рожденности спектра оператора
ˆ
F и был рассмотрен ранее.
Пусть спектр оператора
ˆ
F вырожден, т.е. среди собственных зна-
чений имеются k совпадающих:
f
n
1
= f
n
2
= . . . = f
n
k
≡ f,
отвечающих различным векторам |n
1
i, |n
2
i . . . |n
k
i. Но тогда лю-
бая линейная комбинация векторов |n
1
i, |n
2
i . . . |n
k
i также является
собственным вектором оператора
ˆ
F , отвечающим собственному зна-
чению f.
61
   Одновременная измеримость величин

    Вернемся к теореме об одновременной измеримости величин (лек-
ция 4).
    Теорема. Если [F̂ , Ĝ] = 0, то F и G одновременно измеримы. То
есть существует общая система собственных векторов операторов F̂
и Ĝ:
                             F̂ |ni = Fn |ni,

                            Ĝ|ni = Gn |ni.

   Доказательство. Пусть |ni – собственные векторы оператора F̂ ,
отвечающие собственным значениям fn , то есть

                             F̂ |ni = fn |ni.

Условие коммутативности операторов F̂ и Ĝ

                               F̂ Ĝ = ĜF̂

в n-представлении принимает вид:

             fn Gnn0 = Gnn0 fn0    ⇔     (fn − fn0 )Gnn0 = 0.

    Если спектр оператора F̂ невырожден, то fn 6= fn0 при n 6= n0 ,
т.е. Gnn0 = 0 при n 6= n0 и, следовательно,

                  Gnn0 = gn δnn0    ⇔     Ĝ|ni = gn |ni

в соответствии с утверждением теоремы. Именно этот случай невы-
рожденности спектра оператора F̂ и был рассмотрен ранее.
   Пусть спектр оператора F̂ вырожден, т.е. среди собственных зна-
чений имеются k совпадающих:

                      fn1 = fn2 = . . . = fnk ≡ f,

отвечающих различным векторам |n1 i, |n2 i . . . |nk i. Но тогда лю-
бая линейная комбинация векторов |n1 i, |n2 i . . . |nk i также является
собственным вектором оператора F̂ , отвечающим собственному зна-
чению f .


                                    61

Страницы