Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно матрицы A и A
0
одного и того же оператора
ˆ
A в λ- и
µ-представлениях связаны друг с другом следующим образом:
A = U
+
A
0
U, A
0
= UAU
+
.
Исследуем свойства коммутатора при унитарном преобразовании
всех входящих в него операторов. Пусть [
ˆ
A,
ˆ
B] =
ˆ
C, или в некотором
матричном представлении:
[A, B] = C ⇒ AB − BA = C.
Тогда, домножая слева на U и справа на U
+
, а также используя
U
+
U = 1, получаем:
(UAU
+
)(UBU
+
) − (UBU
+
)(UAU
+
) = UCU
+
.
Но это есть не что иное, как запись коммутатора для операторов в
новом базисе:
A
0
B
0
− B
0
A
0
= C
0
⇒ [A
0
, B
0
] = C
0
.
Таким образом, унитарные преобразования сохраняют коммутаторы
неизменными.
Возьмем теперь задачу на собственные векторы и собственные
значения некоторого оператора
ˆ
F :
ˆ
F |fi = f|fi.
В некотором матричном n-представлении эта задача приобретает
следующий вид:
X
n
0
F
nn
0
hn
0
|fi = fhn|fi.
Условие разрешимости этой системы линейных алгебраических урав-
нений выглядит так:
det kF
nn
0
− δ
nn
0
fk = 0.
Это есть не что иное, как алгебраическое уравнение на собственные
значения f.
60
Следовательно матрицы A и A0 одного и того же оператора Â в λ- и
µ-представлениях связаны друг с другом следующим образом:

                     A = U + A0 U,          A0 = U AU + .

   Исследуем свойства коммутатора при унитарном преобразовании
всех входящих в него операторов. Пусть [Â, B̂] = Ĉ, или в некотором
матричном представлении:

                  [A, B] = C       ⇒        AB − BA = C.

Тогда, домножая слева на U и справа на U + , а также используя
U + U = 1, получаем:

           (U AU + )(U BU + ) − (U BU + )(U AU + ) = U CU + .

Но это есть не что иное, как запись коммутатора для операторов в
новом базисе:

               A0 B 0 − B 0 A0 = C 0        ⇒    [A0 , B 0 ] = C 0 .

Таким образом, унитарные преобразования сохраняют коммутаторы
неизменными.
   Возьмем теперь задачу на собственные векторы и собственные
значения некоторого оператора F̂ :

                               F̂ |f i = f |f i.

В некотором матричном n-представлении эта задача приобретает
следующий вид:     X
                      Fnn0 hn0 |f i = f hn|f i.
                         n0

Условие разрешимости этой системы линейных алгебраических урав-
нений выглядит так:

                        det kFnn0 − δnn0 f k = 0.

Это есть не что иное, как алгебраическое уравнение на собственные
значения f .



                                       60

Страницы