Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пусть унитарная матрица U есть матрица перехода от одного
ортонормированного набора векторов |n
1
i, |n
2
i . . . |n
k
i к другому
|n
0
1
i, |n
0
2
i . . . |n
0
k
i, т.е.
hn
0
i
| =
X
j
U
ij
hn
j
|, |n
0
i
i =
X
j
U
∗
ij
|n
j
i.
Тогда в представлении векторов |n
0
i
i оператор
ˆ
G имеет вид
G
0
= UGU
+
.
Но любая эрмитовая матрица может быть приведена к диагонально-
му виду таким преобразованием (с помощью правильно подобранной
унитарной матрицы). После такого приведения имеем:
G
0
ij
= g
i
δ
ij
⇔
ˆ
G|n
0
i
i = g
i
|n
0
i
i.
Таким образом, векторы |n
0
1
i, |n
0
2
i . . . |n
0
k
i являются искомыми соб-
ственными векторами как для оператора
ˆ
F , так и для оператора
ˆ
G.
Теорема доказана.
Линейный осциллятор
Стационарное уравнение Шредингера для линейного осциллято-
ра выглядит следующим образом:
µ
ˆp
2
2m
+
mω
2
ˆx
2
2
|ni = E
n
|ni, [ˆp, ˆx] = −i~.
Собственные векторы нормированы на единицу:
hn|ni = 1.
Обезразмерим уравнение, домножая его левую и правую части
на
2
~ω
:
µ
ˆp
2
m~ω
+
mωˆx
2
~
|ni =
2E
n
~ω
|ni.
Выполняем замену переменных:
ˆ
ξ =
r
mω
~
ˆx, ˆp
ξ
=
ˆp
√
m~ω
, ε
n
=
E
n
~ω
,
62
     Пусть унитарная матрица U есть матрица перехода от одного
ортонормированного набора векторов |n1 i, |n2 i . . . |nk i к другому
|n01 i, |n02 i . . . |n0k i, т.е.
                                   X                     X
                          hn0i | =   Uij hnj |, |n0i i =    ∗
                                                           Uij |nj i.
                         j                            j


Тогда в представлении векторов |n0i i оператор Ĝ имеет вид

                               G0 = U GU + .

Но любая эрмитовая матрица может быть приведена к диагонально-
му виду таким преобразованием (с помощью правильно подобранной
унитарной матрицы). После такого приведения имеем:

                   G0ij = gi δij    ⇔       Ĝ|n0i i = gi |n0i i.

Таким образом, векторы |n01 i, |n02 i . . . |n0k i являются искомыми соб-
ственными векторами как для оператора F̂ , так и для оператора Ĝ.
Теорема доказана.

   Линейный осциллятор

   Стационарное уравнение Шредингера для линейного осциллято-
ра выглядит следующим образом:
           µ 2             ¶
             p̂   mω 2 x̂2
                +            |ni = En |ni, [p̂, x̂] = −i~.
             2m     2
Собственные векторы нормированы на единицу:

                                   hn|ni = 1.

   Обезразмерим уравнение, домножая его левую и правую части
    2
на    :
   ~ω           µ 2            ¶
                   p̂    mωx̂2         2En
                       +         |ni =     |ni.
                  m~ω      ~            ~ω
Выполняем замену переменных:
                r
             ˆ    mω              p̂                             En
            ξ=        x̂, p̂ξ = √     ,                   εn =      ,
                   ~              m~ω                            ~ω
                                       62

Страницы