Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

при этом
[ˆp
ξ
,
ˆ
ξ] = −i.
Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:
³
ˆp
2
ξ
+
ˆ
ξ
2
´
|ni = 2ε
n
|ni.
Введем новые операторы
ˆa =
ˆ
ξ + iˆp
ξ
√
2
,
ˆa
+
=
ˆ
ξ −iˆp
ξ
√
2
.
Обезразмеренные операторы координаты
ˆ
ξ и импульса ˆp
ξ
выража-
ются через эти новые операторы следующим образом
ˆ
ξ =
ˆa + ˆa
+
√
2
,
ˆp
ξ
=
ˆa − ˆa
+
i
√
2
.
Вычислим коммутатор ˆa и ˆa
+
:
[ˆa, ˆa
+
] =
1
2
[
ˆ
ξ + iˆp
ξ
,
ˆ
ξ − iˆp
ξ
] =
1
2
(i(−i) − i(i)) = 1,
то есть
ˆaˆa
+
− ˆa
+
ˆa = 1 или ˆaˆa
+
= ˆa
+
ˆa + 1.
Перепишем теперь стационарное уравнение Шредингера через опе-
раторы ˆa и ˆa
+
:
1
2
(−(ˆa − ˆa
+
)
2
+ (ˆa + ˆa
+
)
2
)|ni = 2ε
n
|ni,
(ˆaˆa
+
+ ˆa
+
ˆa)|ni = 2ε
n
|ni,
(ˆa
+
ˆa + 1 + ˆa
+
ˆa)|ni = 2ε
n
|ni,
(ˆa
+
ˆa +
1
2
)|ni = ε
n
|ni,
ˆ
h|ni = ε
n
|ni,
63
при этом
                                           ˆ = −i.
                                    [p̂ξ , ξ]
Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:
                    ³           ´
                      p̂2ξ + ξˆ2 |ni = 2εn |ni.

   Введем новые операторы
                       
                       
                            ξˆ + ip̂ξ
                       
                        â = √ ,
                                 2
                                 
                                 
                                 
                                       ξˆ − ip̂
                                  â+ = √ ξ .
                                             2
Обезразмеренные операторы координаты ξˆ и импульса p̂ξ выража-
ются через эти новые операторы следующим образом
                        
                        
                             â + â+
                         ξˆ = √ ,
                        
                                 2
                                 
                                       â − â+
                                 
                                 
                                  p̂ξ = √ .
                                          i 2
Вычислим коммутатор â и â+ :
                          1 ˆ                        1
           [â, â+ ] =     [ξ + ip̂ξ , ξˆ − ip̂ξ ] = (i(−i) − i(i)) = 1,
                          2                          2
то есть
                  ââ+ − â+ â = 1     или ââ+ = â+ â + 1.
Перепишем теперь стационарное уравнение Шредингера через опе-
раторы â и â+ :
                  1
                    (−(â − â+ )2 + (â + â+ )2 )|ni = 2εn |ni,
                  2

                 (ââ+ + â+ â)|ni = 2εn |ni,

                 (â+ â + 1 + â+ â)|ni = 2εn |ni,

                          1
                 (â+ â + )|ni = εn |ni,
                          2

                 ĥ|ni = εn |ni,
                                          63

Страницы