Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где оператор
ˆ
h = ˆa
+
ˆa +
1
2
есть, по существу, обезразмеренный опе-
ратор Гамильтона.
Вычислим коммутаторы операторов ˆa
+
и ˆa с оператором
ˆ
h. Име-
ем:
[ˆa
+
,
ˆ
h] = [ˆa
+
, ˆa
+
ˆa +
1
2
] = ˆa
+
[ˆa
+
, ˆa] = −ˆa
+
,
то есть ˆa
+
ˆ
h −
ˆ
hˆa
+
= −ˆa
+
, или
ˆa
+
ˆ
h =
ˆ
hˆa
+
− ˆa
+
.
Аналогично [ˆa,
ˆ
h] = ˆa, или
ˆa
ˆ
h =
ˆ
hˆa + ˆa.
Действуя на обезразмеренное стационарное уравнение Шредин-
гера слева оператором ˆa
+
, получаем:
ˆa
+
ˆ
h|ni = ε
n
ˆa
+
|ni,
или
ˆ
hˆa
+
|ni − ˆa
+
|ni = ε
n
ˆa
+
|ni,
ˆ
h(ˆa
+
|ni) = (ε
n
+ 1)(ˆa
+
|ni).
Предположим, что
ε
n+1
= ε
n
+ 1, ˆa
+
|ni = c|n + 1i,
при этом
|c|
2
= hc(n + 1)|c(n + 1)i = hˆa
+
n|ˆa
+
ni =
= hn|ˆaˆa
+
|ni = hn|
ˆ
h +
1
2
|ni = ε
n
+
1
2
.
Аналогичным образом, действуя на то же уравнение слева опе-
ратором ˆa, получаем
ˆa
ˆ
h|ni = ε
n
ˆa|ni,
или
ˆ
hˆa|ni + ˆa|ni = ε
n
ˆa|ni,
ˆ
h(ˆa|ni) = (ε
n
− 1)(ˆa|ni).
64
                             1
где оператор ĥ = â+ â + есть, по существу, обезразмеренный опе-
                             2
ратор Гамильтона.
    Вычислим коммутаторы операторов â+ и â с оператором ĥ. Име-
ем:
                                        1
            [â+ , ĥ] = [â+ , â+ â + ] = â+ [â+ , â] = −â+ ,
                                        2
то есть â+ ĥ − ĥâ+ = −â+ , или

                              â+ ĥ = ĥâ+ − â+ .

Аналогично [â, ĥ] = â, или

                                 âĥ = ĥâ + â.

   Действуя на обезразмеренное стационарное уравнение Шредин-
гера слева оператором â+ , получаем:

                             â+ ĥ|ni = εn â+ |ni,

или
                        ĥâ+ |ni − â+ |ni = εn â+ |ni,

                        ĥ(â+ |ni) = (εn + 1)(â+ |ni).
Предположим, что

                   εn+1 = εn + 1,            â+ |ni = c|n + 1i,

при этом
                |c|2 = hc(n + 1)|c(n + 1)i = hâ+ n|â+ ni =

                                         1        1
               = hn|ââ+ |ni = hn|ĥ + |ni = εn + .
                                         2        2
   Аналогичным образом, действуя на то же уравнение слева опе-
ратором â, получаем
                              âĥ|ni = εn â|ni,
или
                         ĥâ|ni + â|ni = εn â|ni,

                         ĥ(â|ni) = (εn − 1)(â|ni).
                                        64

Страницы