Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно
ε
n−1
= ε
n
− 1, ˆa|ni = c
0
|n − 1i,
при этом
|c
0
|
2
= hc
0
(n−1)|c
0
(n−1)i = hˆan|ˆani = hn|ˆa
+
ˆa|ni = hn|
ˆ
h−
1
2
|ni = ε
n
−
1
2
.
Но |c
0
|
2
> 0, поэтому ε
n
>
1
2
или
min
n
ε
n
=
1
2
.
Полагаем ε
0
=
1
2
, тогда ε
n
=
1
2
+ n. Переходя к E
n
, находим
спектр оператора Гамильтона:
E
n
= ~ω(n +
1
2
).
Кроме того, считая c и c
0
действительными неотрицательными чис-
лами, получаем:
ˆa
+
|ni =
√
n + 1|n + 1i,
ˆa|ni =
√
n|n − 1i.
Покажем теперь, как найти волновые функции основного и воз-
бужденных состояний в координатном представлении. Вектор |ψ
0
i ≡
|0i основного состояния, т.е. состояния с минимальной энергией ε
0
,
удовлетворяет соотношению:
ˆa|0i = 0.
В ξ-представлении получаем:
ˆ
ξ + iˆp
ξ
√
2
ψ
0
(ξ) = 0,
или
(ξ +
d
dξ
)ψ
0
(ξ) = 0.
65
Следовательно

                   εn−1 = εn − 1,            â|ni = c0 |n − 1i,

при этом
                                                                1          1
|c0 |2 = hc0 (n−1)|c0 (n−1)i = hân|âni = hn|â+ â|ni = hn|ĥ− |ni = εn − .
                                                                2          2
                              1
Но |c0 |2 > 0, поэтому εn >     или
                              2
                                               1
                                min εn =         .
                                   n           2
                   1          1
   Полагаем ε0 = , тогда εn =   + n. Переходя к En , находим
                   2          2
спектр оператора Гамильтона:
                                         1
                              En = ~ω(n + ).
                                         2
Кроме того, считая c и c0 действительными неотрицательными чис-
лами, получаем:                √
                      â+ |ni = n + 1|n + 1i,
                                   √
                         â|ni =       n|n − 1i.
    Покажем теперь, как найти волновые функции основного и воз-
бужденных состояний в координатном представлении. Вектор |ψ0 i ≡
|0i основного состояния, т.е. состояния с минимальной энергией ε0 ,
удовлетворяет соотношению:

                                   â|0i = 0.

В ξ-представлении получаем:

                              ξˆ + ip̂ξ
                                 √ ψ0 (ξ) = 0,
                                   2
или
                                   d
                            (ξ +      )ψ0 (ξ) = 0.
                                   dξ

                                        65

Страницы