Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где U
µλ
≡ hµ|λi есть матрица перехода от волновой функции ψ
λ
в
λ-представлении к волновой функции ψ
0
µ
в µ-представлении. Эта же
матрица связывает друг с другом базисные векторы:
hµ| =
X
λ
hµ|λihλ| ≡
X
λ
U
µλ
hλ|,
|µi =
X
λ
|λihλ|µi ≡
X
λ
|λiU
∗
µλ
.
Из условий нормировки имеем:
hµ|µ
0
i = δ
µµ
0
,
hλ|λ
0
i = δ
λλ
0
.
Поэтому
δ
µµ
0
= hµ|µ
0
i =
Ã
X
λ
U
µ
λ
hλ|
!Ã
X
λ
0
U
∗
µ
0
λ
0
|λ
0
i
!
=
=
X
λ
X
λ
0
U
µλ
U
∗
µ
0
λ
0
hλ|λ
0
i =
X
λ
U
µλ
(U
∗
)
µ
0
λ
=
X
λ
U
µλ
(U
+
)
λµ
0
.
Определение: Оператор
ˆ
U называется унитарным, если
ˆ
U
+
=
=
ˆ
U
−1
, т.е. если
ˆ
U
ˆ
U
+
=
ˆ
U
+
ˆ
U = 1.
Почти очевидно, что унитарному оператору соответствует уни-
тарная матрица. Действительно, если
ˆ
U
ˆ
U
+
= 1, то
X
n
0
U
nn
0
¡
U
+
¢
n
0
n
00
= δ
nn
00
,
таким образом U
+
= U
−1
.
Итак, мы доказали, что матрица (оператор) преобразования вол-
новой функции из одного представления в другое представление яв-
ляется унитарной. Подчеркнем, что унитарность есть следствие со-
хранения нормы. В самом деле, пусть hψ|ψi = 1, тогда
X
λ
hψ|λihλ|ψi = 1,
58
где Uµλ ≡ hµ|λi есть матрица перехода от волновой функции ψλ в
λ-представлении к волновой функции ψµ0 в µ-представлении. Эта же
матрица связывает друг с другом базисные векторы:
                        X            X
                  hµ| =   hµ|λihλ| ≡   Uµλ hλ|,
                                 λ                        λ
                                 X                       X
                                                                  ∗
                       |µi =          |λihλ|µi ≡              |λiUµλ .
                                 λ                        λ

Из условий нормировки имеем:
                                      hµ|µ0 i = δµµ0 ,

                                      hλ|λ0 i = δλλ0 .

Поэтому
                        Ã                  !Ã                        !
                            X                       X
    δµµ0 = hµ|µ0 i =             Uµλ hλ|                 Uµ∗0 λ0 |λ0 i   =
                            λ                       λ0

        XX                               X                               X
    =            Uµλ Uµ∗0 λ0 hλ|λ0 i =          Uµλ (U ∗ )µ0 λ =             Uµλ (U + )λµ0 .
        λ   λ0                             λ                             λ



   Определение: Оператор Û называется унитарным, если Û + =
= Û −1 , т.е. если Û Û + = Û + Û = 1.

   Почти очевидно, что унитарному оператору соответствует уни-
тарная матрица. Действительно, если Û Û + = 1, то
                   X       ¡ ¢
                       Unn0 U + n0 n00 = δnn00 ,
                            n0

таким образом U + = U −1 .
   Итак, мы доказали, что матрица (оператор) преобразования вол-
новой функции из одного представления в другое представление яв-
ляется унитарной. Подчеркнем, что унитарность есть следствие со-
хранения нормы. В самом деле, пусть hψ|ψi = 1, тогда
                        X
                           hψ|λihλ|ψi = 1,
                                  λ

                                               58

Страницы