Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

дискретизации мод. В самом деле, запишем условие периодичности
по направлению Ox:
A(x = 0, y, z, t) = A(x = L
x
, y, z, t) ⇔ 1 = e
ik
x
L
x
,
т.е. k
x
L
x
= 2πn
x
. Проделывая то же самое для других направлений,
получаем:
k
x
=
2πn
x
L
x
, n
x
∈ Z,
k
y
=
2πn
y
L
y
, n
y
∈ Z,
k
z
=
2
πn
z
L
z
, n
z
∈ Z.
Тогда индекс моды λ = (k
x
, k
y
, k
z
, e
α
) – это дискретный индекс.
Общее решение – суперпозиция частных решений, отвечающих
всем модам:
A(r, t) =
X
λ
¡
b
λ
e
α
e
ikr−iω t
+ k.c.
¢
=
X
λ
¡
b
λ
(t)e
α
e
ikr
+ k.c.
¢
,
где b
λ
(t) = b
λ
e
−iω t
. Подставляя A в выражения для E и H, получаем:
E(r, t) = −
1
c
∂A
∂t
=
X
λ
(ikb
λ
(t)e
α
e
ikr
+ k.c.) ≡
X
λ
E
λ
(r, t),
H(r, t) = rot A =
X
λ
(ib
λ
(t)[k × e
α
]e
ikr
+ k.c.) ≡
X
λ
H
λ
(r, t).
Энергия поля определяется интегралом по объему ящика:
ε
f
=
Z
(E
2
+ H
2
)
8π
dV.
Учитывая, что
e
α
e
∗
α
0
= δ
αα
0
,
и
Z
V
e
ikr
e
−ik
0
r
dV = V δ
k k
0
,
69
дискретизации мод. В самом деле, запишем условие периодичности
по направлению Ox:

       A(x = 0, y, z, t) = A(x = Lx , y, z, t)            ⇔   1 = eikx Lx ,

т.е. kx Lx = 2πnx . Проделывая то же самое для других направлений,
получаем:
                             2πnx
                        kx =      ,    nx ∈ Z,
                              Lx
                                 2πny
                         ky =         ,        ny ∈ Z,
                                  Ly

                                 2πnz
                         kz =         ,        nz ∈ Z.
                                  Lz

Тогда индекс моды λ = (kx , ky , kz , eα ) – это дискретный индекс.
   Общее решение – суперпозиция частных решений, отвечающих
всем модам:
              X¡                       ¢ X¡                          ¢
    A(r, t) =    bλ eα eikr−iωt + k.c. =         bλ (t)eα eikr + k.c. ,
                  λ                                 λ

где bλ (t) = bλ e−iωt . Подставляя A в выражения для E и H, получаем:
                  1 ∂A X                            X
    E(r, t) = −        = (ikbλ (t)eα eikr + k.c.) ≡   Eλ (r, t),
                  c ∂t
                             λ                                λ
                        X                                         X
    H(r, t) = rot A =        (ibλ (t)[k × eα ]eikr + k.c.) ≡          Hλ (r, t).
                         λ                                        λ

    Энергия поля определяется интегралом по объему ящика:
                            Z
                              (E2 + H2 )
                       εf =              dV.
                                  8π
Учитывая, что
                                 eα e∗α0 = δαα0 ,
и                        Z
                                      0
                             eikr e−ik r dV = V δk k0 ,
                        V

                                          69

Страницы