Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

находим:
ε
f
=
X
λ
ε
fλ
,
где
ε
fλ
=
Z
V
E
2
λ
+ H
2
λ
8π
dV =
1
8π
4k
2
|b
λ
(t)|
2
V =
V k
2
2π
|b
λ
|
2
.
Переход от классических величин к операторам
Примем за обобщенную координату действительную величину
Q
λ
= ℵ(b
λ
(t) + b
∗
λ
(t)).
Предположим, что обобщенный импульс, отвечающий координате
Q
λ
, это производная Q
λ
по времени:
P
λ
=
˙
Q
λ
= −iωℵ(b
λ
(t) − b
∗
λ
(t)).
Выполняя вычисления, нетрудно убедиться в том, что
P
2
λ
+ ω
2
Q
2
λ
= −ω
2
ℵ
2
(b
λ
− b
∗
λ
)
2
+ ω
2
ℵ
2
(b
λ
+ b
∗
λ
)
2
=
= 4ω
2
ℵ
2
b
λ
b
∗
λ
= 4ω
2
ℵ
2
|b
λ
|
2
∼ ε
fλ
=
V k
2
2π
|b
λ
|
2
.
Если коэффициент ℵ выбрать так, что
ℵ
2
=
V
4πc
2
,
то
ε
fλ
=
P
2
λ
+ ω
2
Q
2
λ
2
= H
fλ
.
Здесь H
fλ
– это функция Гамильтона моды λ свободного электромаг-
нитного поля (энергия, выраженная через обобщенные координаты
и импульсы).
В самом деле, в классической теории функция Гамильтона H си-
стемы с одной степенью свободы, обобщенная координата q этой си-
стемы и обобщенный импульс p связаны уравнениями Гамильтона:
∂H
∂p
= ˙q,
∂H
∂q
= −˙p.
70
находим:                                     X
                                      εf =        εf λ ,
                                             λ
где                 Z
                        E2λ + H2λ       1                    V k2
           εf λ =                 dV =    4k 2 |bλ (t)|2 V =      |bλ |2 .
                            8π         8π                     2π
                    V


      Переход от классических величин к операторам

      Примем за обобщенную координату действительную величину

                               Qλ = ℵ(bλ (t) + b∗λ (t)).

Предположим, что обобщенный импульс, отвечающий координате
Qλ , это производная Qλ по времени:

                         Pλ = Q̇λ = −iωℵ(bλ (t) − b∗λ (t)).

      Выполняя вычисления, нетрудно убедиться в том, что

           Pλ2 + ω 2 Q2λ = −ω 2 ℵ2 (bλ − b∗λ )2 + ω 2 ℵ2 (bλ + b∗λ )2 =

                                                           V k2
           = 4ω 2 ℵ2 bλ b∗λ = 4ω 2 ℵ2 |bλ |2 ∼ εf λ =           |bλ |2 .
                                                            2π
Если коэффициент ℵ выбрать так, что
                                               V
                                      ℵ2 =         ,
                                              4πc2
то
                           Pλ2 + ω 2 Q2λ
                             εf λ =      = Hf λ .
                                2
Здесь Hf λ – это функция Гамильтона моды λ свободного электромаг-
нитного поля (энергия, выраженная через обобщенные координаты
и импульсы).
   В самом деле, в классической теории функция Гамильтона H си-
стемы с одной степенью свободы, обобщенная координата q этой си-
стемы и обобщенный импульс p связаны уравнениями Гамильтона:
                               ∂H             ∂H
                                  = q̇,          = −ṗ.
                               ∂p             ∂q
                                             70

Страницы