Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В случае H = H
fλ
, q = Q
λ
и p = P
λ
первое уравнение принимает
вид:
P
λ
=
˙
Q
λ
.
Это верно, поскольку именно так был определен импульс P
λ
. Второе
уравнение (с учетом первого) может быть записано так:
ω
2
Q
λ
= −
∂
2
Q
λ
∂t
2
.
Легко проверить, что введенная нами обобщенная координата Q
λ
удовлетворяет этому уравнению.
Далее переходим от классических величин к линейным эрмито-
вым операторам:
P
λ
→
ˆ
P
λ
,
Q
λ
→
ˆ
Q
λ
,
H
fλ
→
ˆ
H
fλ
=
ˆ
P
2
λ
+ ω
2
ˆ
Q
2
λ
2
.
Воспользовавшись ранее установленным соответствием между скоб-
кой Пуассона и коммутатором, находим:
{P
λ
, Q
λ
} = 1 ⇒ [
ˆ
P
λ
,
ˆ
Q
λ
] = −i~.
Состояние поля с определенной энергией в моде λ определяется
стационарным уравнением Шредингера:
ˆ
H
fλ
|ψ
λ
i = E
fλ
|ψ
λ
i,
или
Ã
ˆ
P
2
λ
+ ω
2
ˆ
Q
2
λ
2
!
|ψ
λ
i = E
fλ
|ψ
λ
i.
Поскольку [
ˆ
P
λ
,
ˆ
Q
λ
] = −i~, то мы получили задачу на нахождение
энергетических уровней и векторов состояний линейного осциллято-
ра.
Ранее мы установили, что энергетические уровни линейного ос-
циллятора отстоят друг от друга на одну и ту же величину ~ω
(спектр эквидистантен), т.е.
E
fλ
= ~ω
µ
n
λ
+
1
2
, n
λ
= 0, 1, 2 . . .
71
В случае H = Hf λ , q = Qλ и p = Pλ первое уравнение принимает
вид:
                           Pλ = Q̇λ .
Это верно, поскольку именно так был определен импульс Pλ . Второе
уравнение (с учетом первого) может быть записано так:
                                 ∂ 2 Qλ
                             ω 2 Qλ = − .
                                  ∂t2
Легко проверить, что введенная нами обобщенная координата Qλ
удовлетворяет этому уравнению.
   Далее переходим от классических величин к линейным эрмито-
вым операторам:
                  Pλ        →     P̂λ ,

                  Qλ        →     Q̂λ ,

                                  P̂λ2 + ω 2 Q̂2λ
                  Hf λ      →     Ĥf λ =         .
                                        2
Воспользовавшись ранее установленным соответствием между скоб-
кой Пуассона и коммутатором, находим:
               {Pλ , Qλ } = 1           ⇒      [P̂λ , Q̂λ ] = −i~.
   Состояние поля с определенной энергией в моде λ определяется
стационарным уравнением Шредингера:
                          Ĥf λ |ψλ i = Ef λ |ψλ i,
или               Ã                     !
                      P̂λ2 + ω 2 Q̂2λ
                                            |ψλ i = Ef λ |ψλ i.
                            2
Поскольку [P̂λ , Q̂λ ] = −i~, то мы получили задачу на нахождение
энергетических уровней и векторов состояний линейного осциллято-
ра.
    Ранее мы установили, что энергетические уровни линейного ос-
циллятора отстоят друг от друга на одну и ту же величину ~ω
(спектр эквидистантен), т.е.
                           µ        ¶
                                  1
                 Ef λ = ~ω nλ +       , nλ = 0, 1, 2 . . .
                                  2
                                        71

Страницы