Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Итак, мы показали, что в случае свободного электромагнитного
поля переход от действительных классических величин к линейным
эрмитовым операторам происходит следующим образом:
A(r, t) →
ˆ
A(r) =
X
λ
r
2π~c
2
ωV
¡
ˆa
λ
e
α
e
ikr
+ ˆa
+
λ
e
∗
α
e
−ikr
¢
,
E(r, t) →
ˆ
E(r) =
X
λ
r
2π~c
2
ωV
¡
ik ˆa
λ
e
α
e
ikr
− ik ˆa
+
λ
e
∗
α
e
−ikr
¢
,
H(r, t) →
ˆ
H(r) =
X
λ
r
2π~c
2
ωV
¡
i[k × e
α
]ˆa
λ
e
ikr
− i[k × e
∗
α
]ˆa
+
λ
e
−ikr
¢
.
Гамильтонианом поля является оператор
ˆ
H
f
=
X
λ
ˆ
H
fλ
=
X
λ
~ω
µ
ˆa
+
λ
ˆa
λ
+
1
2
.
Пусть |n
λ
i – собственный вектор гамильтониана
ˆ
H
fλ
моды λ. Лег-
ко видеть, что собственным вектором |ψ
f
i гамильтониана
ˆ
H
f
явля-
ется произведение
|ψ
f
i =
Y
λ
|n
λ
i ≡ |{n
λ
}i.
Этому собственному вектору отвечает собственное значение (энергия
поля)
E
f
=
X
λ
~ω
µ
n
λ
+
1
2
.
Иными словами, состояние свободного электромагнитного поля с
определенной энергией полностью определяется числами n
λ
в каж-
дой моде λ. Эти числа n
λ
называют числами заполнения. Ясно, что
n
λ
можно интерпретировать как число фотонов в моде λ.
Любопытно, что в состоянии |ψ
f
i с определенной энергией сред-
няя величина E в любой точке r равна нулю
hE(r)i = hψ
f
|
ˆ
E(r)|ψ
f
i = 0.
В то же время
hE
2
(r)i = hψ
f
|
ˆ
E
2
(r)|ψ
f
i 6= 0.
73
   Итак, мы показали, что в случае свободного электромагнитного
поля переход от действительных классических величин к линейным
эрмитовым операторам происходит следующим образом:
                     r
                   X 2π~c2 ¡                             ¢
 A(r, t) → Â(r) =            âλ eα eikr + â+  ∗ −ikr
                                              λ eα e       ,
                         ωV
                   λ r
                   X 2π~c2 ¡                                 ¢
 E(r, t) → Ê(r) =           ik âλ eα eikr − ik â+  ∗ −ikr
                                                   λ eα e       ,
                        ωV
                   λ r
                   X 2π~c2 ¡                                            ¢
 H(r, t) → Ĥ(r) =            i[k × eα ]âλ eikr − i[k × e∗α ]â+
                                                                λe
                                                                   −ikr
                                                                          .
                         ωV
                      λ

Гамильтонианом поля является оператор
                    X         X    µ           ¶
                                      +      1
              Ĥf =   Ĥf λ =   ~ω âλ âλ +     .
                                             2
                          λ          λ


   Пусть |nλ i – собственный вектор гамильтониана Ĥf λ моды λ. Лег-
ко видеть, что собственным вектором |ψf i гамильтониана Ĥf явля-
ется произведение
                               Y
                       |ψf i =   |nλ i ≡ |{nλ }i.
                                 λ

Этому собственному вектору отвечает собственное значение (энергия
поля)                           µ        ¶
                          X            1
                     Ef =    ~ω nλ +       .
                                       2
                                λ

Иными словами, состояние свободного электромагнитного поля с
определенной энергией полностью определяется числами nλ в каж-
дой моде λ. Эти числа nλ называют числами заполнения. Ясно, что
nλ можно интерпретировать как число фотонов в моде λ.
   Любопытно, что в состоянии |ψf i с определенной энергией сред-
няя величина E в любой точке r равна нулю

                       hE(r)i = hψf |Ê(r)|ψf i = 0.

В то же время
                      hE2 (r)i = hψf |Ê2 (r)|ψf i =
                                                   6 0.

                                     73

Страницы