Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где
ˆ
U(t) – оператор эволюции (сдвига по времени). Из условия нор-
мировки
hΨ(t)|Ψ(t)i = hΨ(0)|
ˆ
U
+
ˆ
U|Ψ(0)i = 1
следует, что
ˆ
U
+
ˆ
U = 1, то есть оператор эволюции – унитарный.
Если
ˆ
H не зависит от t, то
ˆ
U(t) = e
−i
ˆ
Ht
~
.
Действительно, покажем, что |Ψ(t)i = e
−i
ˆ
Ht
~
|Ψ(0)i удовлетворяет
уравнению Шредингера:
i~
∂|Ψ(t)i
∂t
= i~
Ã
−i
ˆ
H
~
e
−i
ˆ
Ht
~
|Ψ(0)i
!
=
ˆ
He
−i
ˆ
Ht
~
|Ψ(0)i =
ˆ
H|Ψ(t)i.
Заметим, что если
ˆ
U – унитарный оператор, то всегда существует
эрмитовый оператор
ˆ
R такой, что
ˆ
U = e
i
ˆ
R
.
В частности, если
ˆ
U – оператор эволюции, то
ˆ
R = −
ˆ
Ht/~.
Среднее значение hAi, зависящее от времени, определяется мат-
ричными элементами:
hAi(t) = hΨ(t)|
ˆ
A|Ψ(t)i = hΨ(0)|
ˆ
U
+
(t)
ˆ
A
ˆ
U(t)|Ψ(0)i.
Назовем оператором физической величины A в представлении Гай-
зенберга оператор следующего вида:
ˆ
A
Г
(t) ≡
ˆ
U
+
(t)
ˆ
A
ˆ
U(t) = e
i
ˆ
Ht
~
ˆ
Ae
−i
ˆ
Ht
~
.
Вычисляя производную этого оператора, получаем:
d
ˆ
A
Г
(t)
dt
=
i
~
[
ˆ
H,
ˆ
A
Г
(t)].
Итак, в представлении Шредингера
hAi(t) = hΨ(t)|
ˆ
A|Ψ(t)i.
Если же зависимость среднего значения физической величины от
времени вычисляется по формуле
hAi(t) = hΨ(0)|
ˆ
A
Г
(t)|Ψ(0)i,
75
где Û (t) – оператор эволюции (сдвига по времени). Из условия нор-
мировки
                   hΨ(t)|Ψ(t)i = hΨ(0)|Û + Û |Ψ(0)i = 1
следует, что Û + Û = 1, то есть оператор эволюции – унитарный.
   Если Ĥ не зависит от t, то
                                            Ĥt
                             Û (t) = e−i    ~    .
                                                             Ĥt
Действительно, покажем, что |Ψ(t)i = e−i ~ |Ψ(0)i удовлетворяет
уравнению Шредингера:
                  Ã              !
      ∂|Ψ(t)i        Ĥ −i Ĥt            Ĥt
   i~         = i~ −i e ~ |Ψ(0)i = Ĥe−i ~ |Ψ(0)i = Ĥ|Ψ(t)i.
        ∂t           ~

   Заметим, что если Û – унитарный оператор, то всегда существует
эрмитовый оператор R̂ такой, что

                                Û = eiR̂ .
В частности, если Û – оператор эволюции, то R̂ = −Ĥt/~.
   Среднее значение hAi, зависящее от времени, определяется мат-
ричными элементами:
         hAi(t) = hΨ(t)|Â|Ψ(t)i = hΨ(0)|Û + (t)ÂÛ (t)|Ψ(0)i.
Назовем оператором физической величины A в представлении Гай-
зенберга оператор следующего вида:
                                                      Ĥt           Ĥt
                ÂГ (t) ≡ Û + (t)ÂÛ (t) = ei        ~    Âe−i    ~    .
Вычисляя производную этого оператора, получаем:

                        dÂГ (t)  i
                                 = [Ĥ, ÂГ (t)].
                          dt      ~
   Итак, в представлении Шредингера
                       hAi(t) = hΨ(t)|Â|Ψ(t)i.
Если же зависимость среднего значения физической величины от
времени вычисляется по формуле
                     hAi(t) = hΨ(0)|ÂГ (t)|Ψ(0)i,
                                    75

Страницы