Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

то говорят об использовании представления Гайзенберга.
2. Представление Гайзенберга
а) Вектор состояния |Ψ(0)i системы не зависит от t.
б) Сопоставляем величине A зависящий от t оператор в представ-
лении Гайзенберга:
ˆ
A
Г
(t) = e
i
ˆ
Ht
~
ˆ
Ae
−i
ˆ
Ht
~
.
в) Зависимость оператора от времени определяется уравнением
Гайзенберга:
d
ˆ
A
Г
(t)
dt
=
i
~
[
ˆ
H,
ˆ
A
Г
(t)].
Однородность пространства и сохранение импульса
Если пространство однородно, то сдвиг физической лаборатории
на произвольный вектор a не меняет результаты проводимых в ней
измерений. Пусть состояние системы в исходной лаборатории описы-
вается вектором |Ψ; 1i, а состояние системы, сдвинутой на a вместе
с лабораторией, описывается вектором |Ψ; 2i. Если вектор r отсчи-
тывается от некоторого фиксированного в пространстве начала ко-
ординат, то должно быть справедливым соотношение
hr|Ψ; 1i = hr + a|Ψ; 2i
или
hr − a|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2i.
Если принять, что
|Ψ; 2i =
ˆ
T (a)|Ψ; 1i,
то
ˆ
T (a) – оператор сдвига на вектор a. Ясно, что
ˆ
T (a) – унитарный
оператор. По аналогии с оператором сдвига во времени представим
ˆ
T (a) в виде:
ˆ
T (a) = e
−i
ˆ
pa
~
,
где
ˆ
p – некоторый векторный эрмитовый оператор, не зависящий от
времени.
76
то говорят об использовании представления Гайзенберга.

   2. Представление Гайзенберга

   а) Вектор состояния |Ψ(0)i системы не зависит от t.
   б) Сопоставляем величине A зависящий от t оператор в представ-
лении Гайзенберга:
                                  Ĥt     Ĥt
                      ÂГ (t) = ei ~ Âe−i ~ .
   в) Зависимость оператора от     времени определяется уравнением
Гайзенберга:
                      dÂГ (t)     i
                               =     [Ĥ, ÂГ (t)].
                        dt         ~

   Однородность пространства и сохранение импульса

   Если пространство однородно, то сдвиг физической лаборатории
на произвольный вектор a не меняет результаты проводимых в ней
измерений. Пусть состояние системы в исходной лаборатории описы-
вается вектором |Ψ; 1i, а состояние системы, сдвинутой на a вместе
с лабораторией, описывается вектором |Ψ; 2i. Если вектор r отсчи-
тывается от некоторого фиксированного в пространстве начала ко-
ординат, то должно быть справедливым соотношение

                       hr|Ψ; 1i = hr + a|Ψ; 2i

   или
                       hr − a|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2i.
   Если принять, что

                         |Ψ; 2i = T̂ (a)|Ψ; 1i,

то T̂ (a) – оператор сдвига на вектор a. Ясно, что T̂ (a) – унитарный
оператор. По аналогии с оператором сдвига во времени представим
T̂ (a) в виде:
                                         p̂a
                             T̂ (a) = e−i ~ ,
где p̂ – некоторый векторный эрмитовый оператор, не зависящий от
времени.


                                   76

Страницы