Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 78 стр.

   Далее заметим, что T̂ (a) представляет собой ряд по степеням опе-
ратора p̂. Поэтому из [Ĥ, T̂ (a)] = 0 следует, что
                                     [Ĥ, p̂] = 0.
Напомним теперь, что если физической величине A сопоставляется
эрмитовый оператор Â такой, что
   а) Â не зависит от t,
   б) [Ĥ, Â] = 0,
то A – интеграл движения.
   Итак, мы показали, что из условия однородности пространства
следует существование такого эрмитового оператора p̂, что
   а) p̂ не зависит от t,
   б) [Ĥ, p̂] = 0.
Таким образом физическая величина p, отвечающая оператору p̂,
должна быть величиной, сохраняющейся вследствие однородности
пространства. В классической механике такой величиной, сохраня-
ющейся вследствие однородности пространства, является импульс.
Поэтому естественно принять, что p̂ есть оператор импульса.
   Рассмотрим вид оператора сдвига при малом a → δa:
                                         p̂δa          δa
                      T̂ (δa) = e−i        ~    ≈1−i      p̂.
                                                        ~
Оператор p̂ часто называют генератором сдвига. Возьмем соотноше-
ние
                      hr − δa|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2i
и подставим в него
                                                µ        ¶
                              p̂δa                    δa
               |Ψ; 2i = e−i     ~    |Ψ; 1i =    1 − i p̂ |Ψ; 1i.
                                                       ~
Получаем:                            µ        ¶
                                           δa
                  hr − δa|Ψ; 1i = hr| 1 − i p̂ |Ψ; 1i
                                            ~
или
                                       δa
            hr|Ψ; 1i − δa∇hr|Ψ; 1i = hr|Ψ; 1i − i
                                          hr|p̂|Ψ; 1i.
                                        ~
Сравнивая левую и правую части, находим явный вид оператора
импульса в координатном представлении:
                         hr|p̂|Ψi = −i~∇hr|Ψi.
                                          78