Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Изотропия пространства и сохранение углового момента
Переход от одной (1) декартовой системы осей к другой (2), по-
вернутой декартовой системе осей всегда может быть осуществлен
вращением вокруг специально подобранного единичного вектора n
на специально подобранный угол χ. Пусть
~χ = χn
есть вектор поворота.
Так же как и для сдвига, связь векторов состояний, описывающих
одинаковые по своим свойствам состояния системы в лабораториях
1 и 2, соответственно, можно задать соотношением:
|Ψ; 2i =
ˆ
R(~χ)|Ψ; 1i,
где
ˆ
R(~χ) – оператор поворота. Ясно, что
ˆ
R(~χ) – унитарный опера-
тор. По аналогии с операторами сдвига (как во времени, так и в
пространстве) запишем его в виде:
ˆ
R(~χ) = e
−i
ˆ
J~χ
~
,
где
ˆ
J – некоторый векторный эрмитовый оператор, не зависящий от
времени.
Следуя точно той же логике, что и в случае сдвига в простран-
стве, нетрудно доказать, что
[
ˆ
H,
ˆ
R(~χ)] = 0,
и, соответственно,
[
ˆ
H,
ˆ
J] = 0.
Таким образом, условие изотропии пространства приводит нас к со-
храняющейся векторной величине J, отвечающей оператору
ˆ
J. В
классической механике величиной, сохраняющейся вследствие изо-
тропии пространства, является угловой момент. Поэтому естествен-
но принять, что
ˆ
J есть оператор углового момента.
Найдем явный вид оператора углового момента движущейся ча-
стицы. При вращении на малый угол δ~χ имеем:
hr −[δ~χ × r]|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2i.
79
   Изотропия пространства и сохранение углового момента


   Переход от одной (1) декартовой системы осей к другой (2), по-
вернутой декартовой системе осей всегда может быть осуществлен
вращением вокруг специально подобранного единичного вектора n
на специально подобранный угол χ. Пусть

                                χ
                                ~ = χn

есть вектор поворота.
   Так же как и для сдвига, связь векторов состояний, описывающих
одинаковые по своим свойствам состояния системы в лабораториях
1 и 2, соответственно, можно задать соотношением:

                          |Ψ; 2i = R̂(~
                                      χ)|Ψ; 1i,

где R̂(~
       χ) – оператор поворота. Ясно, что R̂(~
                                            χ) – унитарный опера-
тор. По аналогии с операторами сдвига (как во времени, так и в
пространстве) запишем его в виде:
                                          Ĵ~
                                            χ
                               χ) = e−i
                            R̂(~           ~    ,

где Ĵ – некоторый векторный эрмитовый оператор, не зависящий от
времени.
   Следуя точно той же логике, что и в случае сдвига в простран-
стве, нетрудно доказать, что

                            [Ĥ, R̂(~
                                    χ)] = 0,

и, соответственно,
                              [Ĥ, Ĵ] = 0.
Таким образом, условие изотропии пространства приводит нас к со-
храняющейся векторной величине J, отвечающей оператору Ĵ. В
классической механике величиной, сохраняющейся вследствие изо-
тропии пространства, является угловой момент. Поэтому естествен-
но принять, что Ĵ есть оператор углового момента.
   Найдем явный вид оператора углового момента движущейся ча-
стицы. При вращении на малый угол δ~  χ имеем:

                     hr − [δ~
                            χ × r]|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2i.
                                   79

Страницы