Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Мы показали, что
ˆ
J – это оператор углового момента. Безразмерный
оператор углового момента вводится формулой:
ˆ
j =
ˆ
J
~
.
Оператор квадрата углового момента связан с операторами проек-
ций на координатные оси следующим образом:
ˆ
j =
ˆ
j
2
x
+
ˆ
j
2
y
+
ˆ
j
2
z
.
Операторы проекций на координатные оси связаны между собой
коммутационными соотношениями:
[
ˆ
j
α
,
ˆ
j
β
] = ie
αβγ
ˆ
j
γ
.
Пользуясь этими коммутационными соотношениями, нетрудно дока-
зать, что
[
ˆ
j
2
,
ˆ
j
α
] = 0.
Пусть |jmi – это собственные векторы операторов
ˆ
j
2
и
ˆ
j
z
:
ˆ
j
2
|jmi = λ(j)|jmi,
ˆ
j
z
|jmi = m|jmi.
Эти собственные векторы ортонормированы:
hjm|j
0
m
0
i = δ
jj
0
δ
mm
0
.
По физическому смыслу m – это проекция вектора j на ось Oz, λ(j)
– квадрат длины углового момента. Попробуем разобраться, какие
значения могут принимать λ(j) и m, пользуясь только коммутаци-
онными соотношениями. Разобьем исследование на пункты.
1) Покажем, что λ(j) > 0 и m
2
6 λ(j). Имеем:
λ(j) = hjm|
ˆ
j
2
|jmi =
3
X
α=1
hjm|
ˆ
j
2
α
|jmi =
3
X
α=1
h
ˆ
j
α
jm|
ˆ
j
α
jmi > 0,
в силу того, что hΨ|Ψi > 0 при любом Ψ. Аналогичным образом:
λ(j)−m
2
= hjm|
ˆ
j
2
−
ˆ
j
2
z
|jmi =
2
X
α=1
hjm|
ˆ
j
2
α
|jmi =
2
X
α=1
h
ˆ
j
α
jm|
ˆ
j
α
jmi > 0.
81
Мы показали, что Ĵ – это оператор углового момента. Безразмерный
оператор углового момента вводится формулой:

                                           Ĵ
                                    ĵ =      .
                                           ~
Оператор квадрата углового момента связан с операторами проек-
ций на координатные оси следующим образом:

                             ĵ = ĵx2 + ĵy2 + ĵz2 .

Операторы проекций на координатные оси связаны между собой
коммутационными соотношениями:

                            [ĵα , ĵβ ] = ieαβγ ĵγ .

Пользуясь этими коммутационными соотношениями, нетрудно дока-
зать, что
                         [ĵ2 , ĵα ] = 0.
   Пусть |jmi – это собственные векторы операторов ĵ2 и ĵz :
                      
                       jˆ2 |jmi = λ(j)|jmi,
                        ˆ
                         jz |jmi = m|jmi.
Эти собственные векторы ортонормированы:

                        hjm|j 0 m0 i = δjj 0 δmm0 .

По физическому смыслу m – это проекция вектора j на ось Oz, λ(j)
– квадрат длины углового момента. Попробуем разобраться, какие
значения могут принимать λ(j) и m, пользуясь только коммутаци-
онными соотношениями. Разобьем исследование на пункты.
   1) Покажем, что λ(j) > 0 и m2 6 λ(j). Имеем:
                            3
                            X                            3
                                                         X
                 2
     λ(j) = hjm|ĵ |jmi =      hjm|ĵα2 |jmi       =           hĵα jm|ĵα jmi > 0,
                            α=1                          α=1

в силу того, что hΨ|Ψi > 0 при любом Ψ. Аналогичным образом:
                                   2
                                   X                            2
                                                                X
λ(j)−m2 = hjm|ĵ2 − ĵz2 |jmi =         hjm|ĵα2 |jmi =               hĵα jm|ĵα jmi > 0.
                                   α=1                          α=1

                                        81

Страницы