Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Утверждения доказаны.
2) Введем операторы:
ˆ
j
+
=
ˆ
j
x
+ i
ˆ
j
y
√
2
,
ˆ
j
−
=
ˆ
j
x
− i
ˆ
j
y
√
2
= (
ˆ
j
+
)
+
.
Тогда операторы
ˆ
j
x
и
ˆ
j
y
выражаются через
ˆ
j
+
и
ˆ
j
−
следующим об-
разом:
ˆ
j
x
=
ˆ
j
+
+
ˆ
j
−
√
2
,
ˆ
j
y
=
ˆ
j
+
−
ˆ
j
−
i
√
2
.
Вычисляя, находим:
ˆ
j
+
ˆ
j
−
=
1
2
(
ˆ
j
x
+ i
ˆ
j
y
)(
ˆ
j
x
− i
ˆ
j
y
) =
=
1
2
(
ˆ
j
2
−
ˆ
j
2
z
− i[
ˆ
j
x
,
ˆ
j
y
]) =
1
2
(
ˆ
j
2
−
ˆ
j
2
z
+
ˆ
j
z
),
ˆ
j
−
ˆ
j
+
=
1
2
(
ˆ
j
x
− i
ˆ
j
y
)(
ˆ
j
x
+ i
ˆ
j
y
) =
=
1
2
(
ˆ
j
2
−
ˆ
j
2
z
+ i[
ˆ
j
x
,
ˆ
j
y
]) =
1
2
(
ˆ
j
2
−
ˆ
j
2
z
−
ˆ
j
z
).
Поэтому
ˆ
j
+
ˆ
j
−
+
ˆ
j
−
ˆ
j
+
=
ˆ
j
2
−
ˆ
j
2
z
=
ˆ
j
2
x
+
ˆ
j
2
y
,
ˆ
j
+
ˆ
j
−
−
ˆ
j
−
ˆ
j
+
=
ˆ
j
z
⇔ [
ˆ
j
+
,
ˆ
j
−
] =
ˆ
j
z
.
3) Вычислим коммутаторы [
ˆ
j
z
,
ˆ
j
+
] и [
ˆ
j
z
,
ˆ
j
−
]:
[
ˆ
j
z
,
ˆ
j
±
] =
1
√
2
([
ˆ
j
z
,
ˆ
j
x
] ± i[
ˆ
j
z
,
ˆ
j
y
]) =
=
1
√
2
(i
ˆ
j
y
± i(−i
ˆ
j
x
)) =
1
√
2
(±
ˆ
j
x
+ i
ˆ
j
y
) = ±
1
√
2
(
ˆ
j
x
± i
ˆ
j
y
) = ±
ˆ
j
±
.
82
Утверждения доказаны.
   2) Введем операторы:
                   
                   
                         ĵx + iĵy
                    ĵ+ = √
                                    ,
                              2
                            
                            
                            
                                  ĵ − iĵ
                             ĵ− = x √ y = (ĵ+ )+ .
                                       2
Тогда операторы ĵx и ĵy выражаются через ĵ+ и ĵ− следующим об-
разом:                    
                          
                                ĵ+ + ĵ−
                           ĵx = √
                                          ,
                                     2
                                   
                                   
                                   
                                         ĵ − ĵ
                                    ĵy = + √ − .
                                            i 2
   Вычисляя, находим:
                           1
               ĵ+ ĵ− =     (ĵx + iĵy )(ĵx − iĵy ) =
                           2
                           1 ˆ2                          1
                      =      (j − ĵz2 − i[ĵx , ĵy ]) = (jˆ2 − ĵz2 + ĵz ),
                           2                             2
                           1
               ĵ− ĵ+ =     (ĵx − iĵy )(ĵx + iĵy ) =
                           2
                           1 ˆ2                          1
                      =      (j − ĵz2 + i[ĵx , ĵy ]) = (jˆ2 − ĵz2 − ĵz ).
                           2                             2
Поэтому
                    ĵ+ ĵ− + ĵ− ĵ+ = jˆ2 − ĵz2 = ĵx2 + ĵy2 ,

                    ĵ+ ĵ− − ĵ− ĵ+ = ĵz        ⇔   [ĵ+ , ĵ− ] = ĵz .
   3) Вычислим коммутаторы [ĵz , ĵ+ ] и [ĵz , ĵ− ]:
                   1
   [ĵz , ĵ± ] = √ ([ĵz , ĵx ] ± i[ĵz , ĵy ]) =
                    2
      1                      1                    1
   = √ (iĵy ± i(−iĵx )) = √ (±ĵx + iĵy ) = ± √ (ĵx ± iĵy ) = ±ĵ± .
       2                      2                    2
                                              82

Страницы