Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

то есть
j =
N
2
.
Следовательно j может принимать либо целые, либо полуцелые зна-
чения.
Замечание. Ранее было показано, что проекции m орбитального
момента на ось z принимают только целые значения. Орбитальный
момент – это угловой момент, связанный с движением частицы в про-
странстве. Если же речь идет о собственном (внутреннем) угловом
моменте частицы (классический аналог - вращение тела вокруг соб-
ственной оси), то нет причин отказываться от полуцелых значений
углового момента. Собственный угловой момент частицы обычно на-
зывают спином (от английского ”to spin” – ”вращаться”).
Число j называют угловым моментом. Для любого j существуют
следующие проекции углового момента:
m = −j, −j + 1, . . . j,
то есть всего 2j + 1 состояний |jmi при определенном угловом мо-
менте j.
5) Найдем λ(j). Для этого запишем:
ˆ
j
2
|jmi = λ(j)|jmi.
Поскольку λ(j) не зависит от m, то положим m = m
max
≡ j. Тогда:
ˆ
j
2
|jji = λ(j)|jji.
Но
ˆ
j
2
|jmi = (
ˆ
j
+
ˆ
j
−
+
ˆ
j
−
ˆ
j
+
+
ˆ
j
2
z
)|jji = (2
ˆ
j
−
ˆ
j
+
+
ˆ
j
z
+
ˆ
j
2
z
)|jji =
= |так как
ˆ
j
+
|jji = 0| = (
ˆ
j
z
(
ˆ
j
z
+ 1))|jji = j(j + 1)|jji.
Поэтому λ(j) = j(j + 1).
6) Вычислим α
m
и β
m
. Заметим, что
α
m
= hjm|
ˆ
j
+
|j(m −1)i = h
ˆ
j
−
jm|j(m −1)i = hj( m − 1)|
ˆ
j
−
|jmi
∗
= β
∗
m
.
84
то есть
                               N
                                  .   j=
                                2
Следовательно j может принимать либо целые, либо полуцелые зна-
чения.

   Замечание. Ранее было показано, что проекции m орбитального
момента на ось z принимают только целые значения. Орбитальный
момент – это угловой момент, связанный с движением частицы в про-
странстве. Если же речь идет о собственном (внутреннем) угловом
моменте частицы (классический аналог - вращение тела вокруг соб-
ственной оси), то нет причин отказываться от полуцелых значений
углового момента. Собственный угловой момент частицы обычно на-
зывают спином (от английского ”to spin” – ”вращаться”).

   Число j называют угловым моментом. Для любого j существуют
следующие проекции углового момента:

                         m = −j,       −j + 1,      ...    j,

то есть всего 2j + 1 состояний |jmi при определенном угловом мо-
менте j.
   5) Найдем λ(j). Для этого запишем:

                               ĵ2 |jmi = λ(j)|jmi.

Поскольку λ(j) не зависит от m, то положим m = mmax ≡ j. Тогда:

                                jˆ2 |jji = λ(j)|jji.

Но

      jˆ2 |jmi = (ĵ+ ĵ− + ĵ− ĵ+ + ĵz2 )|jji = (2ĵ− ĵ+ + ĵz + ĵz2 )|jji =

      = |так как ĵ+ |jji = 0| = (ĵz (ĵz + 1))|jji = j(j + 1)|jji.

Поэтому λ(j) = j(j + 1).
   6) Вычислим αm и βm . Заметим, что

αm = hjm|ĵ+ |j(m − 1)i = hĵ− jm|j(m − 1)i = hj(m − 1)|ĵ− |jmi∗ = βm
                                                                     ∗
                                                                       .


                                          84

Страницы