Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Поэтому требуется определить следующие ненулевые коэффициен-
ты:
β
−j+1
, β
−j+2
, . . . β
j
.
Имеем, с одной стороны,
ˆ
j
+
ˆ
j
−
|jmi = β
m
ˆ
j
+
|j(m − 1) = |β
m
|
2
|jmi,
с другой стороны,
ˆ
j
+
ˆ
j
−
|jmi =
1
2
(
ˆ
j
2
−
ˆ
j
2
z
+
ˆ
j
z
)|jmi =
1
2
(j(j + 1) − m
2
+ m)|jmi.
Выберем фазы векторов состояний |jmi так, чтобы α
m
= β
m
были
действительными неотрицательными числами. Тогда
β
m
=
r
j
2
+ j − m
2
+ m
2
=
r
(j + m)(j −m + 1)
2
= α
m
.
То есть
ˆ
j
−
|jmi =
r
(j + m)(j −m + 1)
2
|j(m − 1)i,
ˆ
j
+
|jmi =
r
(j −m)(j + m + 1)
2
|j(m + 1)i,
или
(
ˆ
j
x
± i
ˆ
j
y
)|jmi =
p
(j ∓m)(j ±m + 1)|j(m ± 1)i.
Спиновый момент
Собственный угловой момент частицы называют спиновым мо-
ментом или, просто, спином. Спин обычно обозначают буквой s, то-
гда ˆs – оператор спина.
Рассмотрим частицу с s =
1
2
. Проекция спина σ на выделенную
ось может принимать значение либо −
1
2
, либо +
1
2
. Векторы |
1
2
1
2
i и
|
1
2
−
1
2
i образуют полный базис в пространстве спиновых состояний
частицы. Соответственно произвольное спиновое состояние частицы
представимо в виде суперпозиции
|Ψi =
X
σ= ±
1
2
|
1
2
σih
1
2
σ|Ψi.
85
Поэтому требуется определить следующие ненулевые коэффициен-
ты:
                   β−j+1 , β−j+2 , . . . βj .
   Имеем, с одной стороны,
                  ĵ+ ĵ− |jmi = βm ĵ+ |j(m − 1) = |βm |2 |jmi,
с другой стороны,
                       1 2                       1
      ĵ+ ĵ− |jmi =     (ĵ − ĵz2 + ĵz )|jmi = (j(j + 1) − m2 + m)|jmi.
                       2                         2
Выберем фазы векторов состояний |jmi так, чтобы αm = βm были
действительными неотрицательными числами. Тогда
           r                    r
             j 2 + j − m2 + m     (j + m)(j − m + 1)
      βm =                    =                      = αm .
                      2                    2
То есть                       r
                                  (j + m)(j − m + 1)
                 ĵ− |jmi =                          |j(m − 1)i,
                                           2
                              r
                                (j − m)(j + m + 1)
                 ĵ+ |jmi =                        |j(m + 1)i,
                                         2
или                              p
             (ĵx ± iĵy )|jmi = (j ∓ m)(j ± m + 1)|j(m ± 1)i.

   Спиновый момент

   Собственный угловой момент частицы называют спиновым мо-
ментом или, просто, спином. Спин обычно обозначают буквой s, то-
гда ŝ – оператор спина.
                             1
   Рассмотрим частицу с s = . Проекция спина σ на выделенную
                             2
                                      1      1            1 1
ось может принимать значение либо − , либо + . Векторы |      iи
                                      2      2            2 2
 1 1
| − i образуют полный базис в пространстве спиновых состояний
 2 2
частицы. Соответственно произвольное спиновое состояние частицы
представимо в виде суперпозиции
                             X 1      1
                       |Ψi =     | σih σ|Ψi.
                               1
                                  2   2
                                    σ=± 2

                                         85

Страницы