Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

То есть
ˆ
j
z
ˆ
j
±
−
ˆ
j
±
ˆ
j
z
= ±
ˆ
j
±
,
или
ˆ
j
z
ˆ
j
±
=
ˆ
j
±
(
ˆ
j
z
± 1).
Окончательно получаем:
ˆ
j
z
ˆ
j
+
=
ˆ
j
+
(
ˆ
j
z
+ 1),
ˆ
j
z
ˆ
j
−
=
ˆ
j
−
(
ˆ
j
z
− 1).
Сделаем промежуточные выводы по первым трем пунктам.
а)Если m
2
6 λ(j), то существуют m
min
и m
max
. Очевидно, что
m
min
= −m
max
. Пусть
m
max
≡ j, m
min
= −j.
б)
ˆ
j
+
и
ˆ
j
−
– операторы повышения и понижения. Действительно,
ˆ
j
z
(
ˆ
j
±
|jmi) =
ˆ
j
±
(
ˆ
j
z
± 1)|jmi = (m ± 1)
³
ˆ
j
±
|jmi
´
.
Поэтому:
ˆ
j
+
|j(m − 1)i = α
m
|jmi,
ˆ
j
−
|jmi = β
m
|j(m − 1)i.
Однако, поскольку
ˆ
j
+
|jji = 0, то α
j+1
= 0. Аналогично β
−j
= 0.
4) Воспользовавшись оператором понижения
ˆ
j
−
, запишем:
ˆ
j
−
|jji ∼ |j(j − 1)i,
(
ˆ
j
−
)
2
|jji ∼ |j(j − 2)i,
. . .
(
ˆ
j
−
)
N
|jji ∼ |j(j − N)i, N ∈ Z.
Предположим, что таким образом мы осуществляем переход от со-
стояния с максимальной проекцией |jji к состоянию с минимальной
проекцией |j − ji. Тогда
j − N = −j,
83
То есть
                           ĵz ĵ± − ĵ± ĵz = ±ĵ± ,
или
                             ĵz ĵ± = ĵ± (ĵz ± 1).
Окончательно получаем:
                    
                     ĵz ĵ+ = ĵ+ (ĵz + 1),
                         
                              ĵz ĵ− = ĵ− (ĵz − 1).
  Сделаем промежуточные выводы по первым трем пунктам.
  а)Если m2 6 λ(j), то существуют mmin и mmax . Очевидно, что
mmin = −mmax . Пусть
                        mmax ≡ j,        mmin = −j.
   б) ĵ+ и ĵ− – операторы повышения и понижения. Действительно,
                                                       ³        ´
           ĵz (ĵ± |jmi) = ĵ± (ĵz ± 1)|jmi = (m ± 1) ĵ± |jmi .

Поэтому:
                        ĵ+ |j(m − 1)i = αm |jmi,

                        ĵ− |jmi = βm |j(m − 1)i.
Однако, поскольку ĵ+ |jji = 0, то αj+1 = 0. Аналогично β−j = 0.

   4) Воспользовавшись оператором понижения ĵ− , запишем:
                  ĵ− |jji ∼ |j(j − 1)i,

                  (ĵ− )2 |jji ∼ |j(j − 2)i,

                  ...

                  (ĵ− )N |jji ∼ |j(j − N )i,            N ∈ Z.
Предположим, что таким образом мы осуществляем переход от со-
стояния с максимальной проекцией |jji к состоянию с минимальной
проекцией |j − ji. Тогда
                                j − N = −j,
                                       83

Страницы