Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

По общему правилу коэффициент разложения h
1
2
σ|Ψi – это ампли-
туда вероятности того, что измерение проекции спина на ось z в
состоянии |Ψi даст значение σ. Набор таких амплитуд (в данном
случае – набор из двух амплитуд) – это спиновая волновая функция
или, иначе, спинор:
Ψ(σ) ≡ h
1
2
σ|Ψi =
°
°
°
°
°
°
°
°
h
1
2
1
2
|Ψi
h
1
2
−
1
2
|Ψi
°
°
°
°
°
°
°
°
=
°
°
°
°
α
β
°
°
°
°
, Ψ
+
(σ) = kα
∗
β
∗
k.
Условие нормировки имеет вид:
Ψ
+
Ψ = |α|
2
+ |β|
2
= 1.
Найдем вид спиновых операторов в пространстве базисных век-
торов |
1
2
σi. По общему правилу операторы принимают вид матриц:
ˆs
x
→ (ˆs
x
)
σσ
0
= h
1
2
σ|ˆs
x
|
1
2
σ
0
i,
ˆs
y
→ (ˆs
y
)
σ σ
0
= h
1
2
σ|ˆs
y
|
1
2
σ
0
i,
ˆs
z
→ (ˆs
z
)
σσ
0
= h
1
2
σ|ˆs
z
|
1
2
σ
0
i.
Напомним, что базисные векторы |sσi, где s =
1
2
, являются собствен-
ными векторами операторов
ˆ
s
2
и ˆs
z
:
ˆ
s
2
|sσi = s(s + 1)|sσi,
ˆs
z
|sσi = σ|sσi.
Тогда для матричного оператора ˆs
z
получаем:
ˆs
z
= h
1
2
σ|ˆs
z
|
1
2
σ
0
i =
1
2
°
°
°
°
1 0
0 −1
°
°
°
°
≡
1
2
ˆσ
z
.
Аналогичным образом, пользуясь полученными выше соотношения-
ми для операторов повышения ˆs
+
и понижения ˆs
−
, для матричных
86
                                               1
По общему правилу коэффициент разложения h σ|Ψi – это ампли-
                                               2
туда вероятности того, что измерение проекции спина на ось z в
состоянии |Ψi даст значение σ. Набор таких амплитуд (в данном
случае – набор из двух амплитуд) – это спиновая волновая функция
или, иначе, спинор:
                    °    1 1     °
                    °            °
                    ° h      |Ψi ° °      °
            1       °    2 2     ° ° α °
   Ψ(σ) ≡ h σ|Ψi = °°            °   °    °     +        ∗ ∗
            2                    ° = ° β ° , Ψ (σ) = kα β k.
                    ° 1 1        °
                    ° h − |Ψi °
                        2 2
Условие нормировки имеет вид:

                       Ψ+ Ψ = |α|2 + |β|2 = 1.

   Найдем вид спиновых операторов в пространстве базисных век-
       1
торов | σi. По общему правилу операторы принимают вид матриц:
       2
                                       1       1
                    ŝx → (ŝx )σσ0 = h σ|ŝx | σ 0 i,
                                       2       2
                                       1       1
                    ŝy → (ŝy )σσ0 = h σ|ŝy | σ 0 i,
                                       2       2
                                       1       1
                    ŝz → (ŝz )σσ0 = h σ|ŝz | σ 0 i.
                                       2       2
                                                    1
Напомним, что базисные векторы |sσi, где s =          , являются собствен-
                                                    2
ными векторами операторов ŝ2 и ŝz :
                   
                    sˆ2 |sσi = s(s + 1)|sσi,
                     
                         ŝz |sσi = σ|sσi.

Тогда для матричного оператора ŝz получаем:
                                   °      °
                    1       1 0   1°
                                   ° 1 0 °° ≡ 1 σ̂z .
             ŝz = h σ|ŝz | σ i = °
                    2       2     2 0 −1 ° 2
Аналогичным образом, пользуясь полученными выше соотношения-
ми для операторов повышения ŝ+ и понижения ŝ− , для матричных
                                    86

Страницы