Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Знаки ”±” соответствуют движению вдоль и против оси Ox между
точками поворота x
1
и x
2
(x
1
6 x 6 x
2
). Точки поворота определя-
ются условием:
U( x
1
) = U(x
2
) = E.
Описание движения в квантовой механике
Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:
−
~
2
2m
ψ
00
(x) + U(x)ψ(x) = Eψ(x),
ψ
00
(x) +
p(x)
2
~
2
ψ(x) = 0,
где
p(x) ≡
p
2m(E − U(x)).
Пусть U = const, тогда p = const, а волновая функция выглядит
следующим образом:
ψ(x) ∼ e
±i
px
~
, если U < E,
и
ψ(x) ∼ e
±
|p|x
~
, если U > E.
Описание движения в квантовой механике в квазиклас-
сическом приближении
Наблюдение: чем больше E, тем больше имеется осцилляций
ψ(x). Рассмотрим характерную длину осцилляции (если p = const,
то λ – длина волны де Бройля):
λ =
2π~
p
, или λ ≡
λ
2π
=
~
p
.
Условие применимости квазиклассического приближения: λ ¿ a, где
a – характерная длина изменения потенциала U (x). Если это условие
выполненно, то потенциал слабо меняется на расстояниях порядка λ
и его можно считать постоянным. Если записать волновую функцию
в форме
ψ(x) ∼ e
iσ(x)
,
88
Знаки ”±” соответствуют движению вдоль и против оси Ox между
точками поворота x1 и x2 (x1 6 x 6 x2 ). Точки поворота определя-
ются условием:
                      U (x1 ) = U (x2 ) = E.

      Описание движения в квантовой механике

      Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

                       ~2 00
                   −      ψ (x) + U (x)ψ(x) = Eψ(x),
                       2m

                                p(x)2
                   ψ 00 (x) +         ψ(x) = 0,
                                 ~2
где                               p
                         p(x) ≡      2m(E − U (x)).
Пусть U = const, тогда p = const, а волновая функция выглядит
следующим образом:
                                   px
                    ψ(x) ∼ e±i     ~     ,        если   U < E,

и                                 |p|x
                    ψ(x) ∼ e±       ~    ,        если U > E.

   Описание движения в квантовой механике в квазиклас-
сическом приближении

   Наблюдение: чем больше E, тем больше имеется осцилляций
ψ(x). Рассмотрим характерную длину осцилляции (если p = const,
то λ – длина волны де Бройля):
                          2π~                             λ  ~
                    λ=        ,     или            λ≡       = .
                           p                             2π  p
Условие применимости квазиклассического приближения: λ ¿ a, где
a – характерная длина изменения потенциала U (x). Если это условие
выполненно, то потенциал слабо меняется на расстояниях порядка λ
и его можно считать постоянным. Если записать волновую функцию
в форме
                          ψ(x) ∼ eiσ(x) ,
                                             88

Страницы