Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

то
σ(x) ∼
px
~
∼
pa
~
=
a
λ
À 1.
Рассмотрим три этапа построения решения в квазиклассическом
приближении.
1) Ищем ψ(x) в виде ψ = Ce
iσ(x )
. Тогда
ψ
0
= iσ
0
Ce
iσ
,
ψ
00
= −(σ
0
)
2
Ce
iσ
+ iσ
00
Ce
iσ(x)
.
Подставляя ψ
00
в уравнение Шредингера и сокращая Ce
iσ(x )
, полу-
чаем уравнение на σ(x):
−(σ
0
)
2
+ iσ
00
+
p
2
~
2
= 0,
или
iσ
00
(x) − (σ
0
(x))
2
= −
p(x)
2
~
2
.
2) Выше уже было замечено, что в пределе λ ¿ a имеем: σ ∼
a
λ
À 1. Тогда
σ
0
∼
σ
a
∼
1
a
a
λ
,
σ
00
∼
σ
a
2
∼
1
a
2
a
λ
.
Поэтому, в силу того что
a
λ
À 1, имеем:
(σ
0
(x))
2
∼
1
a
2
³
a
λ
´
2
À
1
a
2
a
λ
∼ σ
00
(x).
Следовательно в пределе λ ¿ a в точном уравнении для σ(x) в левой
части доминирует второе слагаемое.
3) Ищем решение уравнения для σ(x) методом разложения в ряд
по малому параметру
λ
a
¿ 1:
σ(x) = σ
0
(x) + σ
1
(x) + σ
2
(x) + . . . ,
где
σ
0
(x) ∼
a
λ
,
89
то
                          px    pa      a
                     σ(x) ∼  ∼       = À 1.
                           ~     ~     λ
   Рассмотрим три этапа построения решения в квазиклассическом
приближении.
   1) Ищем ψ(x) в виде ψ = Ceiσ(x) . Тогда

                  ψ 0 = iσ 0 Ceiσ ,

                  ψ 00 = −(σ 0 )2 Ceiσ + iσ 00 Ceiσ(x) .

Подставляя ψ 00 в уравнение Шредингера и сокращая Ceiσ(x) , полу-
чаем уравнение на σ(x):

                                            p2
                       −(σ 0 )2 + iσ 00 +      = 0,
                                            ~2
или
                                             p(x)2
                    iσ 00 (x) − (σ 0 (x))2 = −     .
                                              ~2
   2) Выше уже было замечено, что в пределе λ ¿ a имеем: σ ∼
a
  À 1. Тогда
λ
                                   σ    1a
                            σ0 ∼ ∼         ,
                                   a    aλ
                                  σ     1 a
                           σ 00 ∼ 2 ∼ 2 .
                                  a     a λ
                           a
Поэтому, в силу того что À 1, имеем:
                           λ
                              1 ³ a ´2    1 a
               (σ 0 (x))2 ∼ 2          À 2 ∼ σ 00 (x).
                            a λ          a λ
Следовательно в пределе λ ¿ a в точном уравнении для σ(x) в левой
части доминирует второе слагаемое.
   3) Ищем решение уравнения для σ(x) методом разложения в ряд
                     λ
по малому параметру ¿ 1:
                     a
                σ(x) = σ0 (x) + σ1 (x) + σ2 (x) + . . . ,

где
                                           a
                              σ0 (x) ∼       ,
                                           λ
                                      89

Страницы