Составители:
Рубрика:
17
5. Вычисление числа π. Для вычисления числа π используем ряд
L−+−+−=
9
1
7
1
5
1
3
1
1
4
π
. Провести вычисления, обеспечив заранее заданную точность ε >
0. При этом вычисления заканчиваются при
ε
<a .
4.16.Физика
1. Составить программу для вычисления времени t встречи автомобилей, движу-
щихся равноускоренно навстречу друг другу, если известны их скорости V
1
и V
2
, ускоре-
ния a
1
и a
2
, и начальное расстояние S между ними. Расстояния, пройденными автомобиля-
ми, вычисляются по формулам:
2
ta
tVS
2
1
11
+= и
2
ta
tVS
2
2
22
+= . Время t встречи автомо-
билей определяется из уравнения
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=+
2
ta
tVS
2
ta
tV
2
2
2
2
1
1
, откуда
21
21
2
2121
aa
S2)aa()VV()VV(
t
+
+++++−
=
4.17.Случайные числа
1. Вычисление числа π. Рассмотрим четверть кру-
га единичного радиуса и описанный квадрат. Случайным
образом выбираем точки с координатами (х, y), таким
образом, 0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1. Если распределение x и y
равномерно (что предполагается), то число К точек, по-
павших внутрь четверти круга, пропорционально его
площади, т.е. π/4. В этом случае
π = (4 × К)/ N, где N –
число случайно выбранных точек. Чем больше число N,
тем точнее вычисления.
4.18.Биология
1. Для описания происходящего со временем изменения популяции удобно рас-
сматривать распределение популяции по возрастным группам ( в первую группу попадают
все особи в возрасте до года, во вторую – до двух лет и не попавшие в первую группу и
т.д.). Пусть p
1
, p
2
, … , p
n
– количества особей, попавших в каждую из n групп. Для каждой
из групп имеется свой коэффициент рождаемости. Если для i – й группы коэффициент
рождаемости равен b
i
, то через год годовой приплод для этой группы равен p
i
b
i.
Пусть
имеется набор коэффициентов рождаемости b
1
, b
2
, … , b
n
. Для каждой из групп имеется
свой коэффициент выживаемости. Если для i – й группы коэффициент выживаемости ра-
вен s
i
, то через год численность этой группы равна p
i
s
i..
Пусть имеется набор коэффици-
ентов выживаемости s
1
, s
2
, … , s
n
. Особи, принадлежащие i – й группе, через год перехо-
дят в i+1 – ю группу, s
n
всегда равно нулю. Годовой приплод не зависит от коэффициента
выживаемости (это, конечно, упрощение задачи). Пусть известны p
1
, p
2
, … , p
n
– первона-
чально зафиксированное распределение популяций по группам, b
1
, b
2
, … , b
n
– коэффици-
енты рождаемости по группам, s
1
, s
2
, … , s
n
– коэффициенты выживаемости по группам.
Составить программу вычисления численности популяции через m лет.
4.19.Перебор
1. Получить все перестановки элементов 1, … , 6.
2. Получить все сочетания из 10 элементов 1, … , 10 по 4 элемента в каждом.
3. Получить все размещения из 9 элементов 1, … , 9 по 5 элементов в каждом.
X
Y
17
5. Вычисление числа π. Для вычисления числа π используем ряд
π 1 1 1 1
= 1 − + − + − L . Провести вычисления, обеспечив заранее заданную точность ε >
4 3 5 7 9
0. При этом вычисления заканчиваются при a < ε .
4.16.Физика
1. Составить программу для вычисления времени t встречи автомобилей, движу-
щихся равноускоренно навстречу друг другу, если известны их скорости V1 и V2, ускоре-
ния a1 и a2, и начальное расстояние S между ними. Расстояния, пройденными автомобиля-
a1 t 2 a t2
ми, вычисляются по формулам: S 1 = V1 t + и S 2 = V 2 t + 2 . Время t встречи автомо-
2 2
a1t 2 ⎛ a t2 ⎞
билей определяется из уравнения V1t + = S − ⎜⎜V2t + 2 ⎟⎟ , откуда
2 ⎝ 2 ⎠
− ( V1 + V 2 ) + ( V1 + V 2 ) 2 + ( a 1 + a 2 )2 S
t=
a1 + a 2
4.17.Случайные числа
1. Вычисление числа π. Рассмотрим четверть кру-
Y га единичного радиуса и описанный квадрат. Случайным
образом выбираем точки с координатами (х, y), таким
образом, 0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1. Если распределение x и y
равномерно (что предполагается), то число К точек, по-
X павших внутрь четверти круга, пропорционально его
площади, т.е. π/4. В этом случае π = (4 × К)/ N, где N –
число случайно выбранных точек. Чем больше число N,
тем точнее вычисления.
4.18.Биология
1. Для описания происходящего со временем изменения популяции удобно рас-
сматривать распределение популяции по возрастным группам ( в первую группу попадают
все особи в возрасте до года, во вторую – до двух лет и не попавшие в первую группу и
т.д.). Пусть p1, p2, … , pn – количества особей, попавших в каждую из n групп. Для каждой
из групп имеется свой коэффициент рождаемости. Если для i – й группы коэффициент
рождаемости равен bi, то через год годовой приплод для этой группы равен pi bi. Пусть
имеется набор коэффициентов рождаемости b1, b2, … , bn. Для каждой из групп имеется
свой коэффициент выживаемости. Если для i – й группы коэффициент выживаемости ра-
вен si, то через год численность этой группы равна pi si.. Пусть имеется набор коэффици-
ентов выживаемости s1, s2, … , sn. Особи, принадлежащие i – й группе, через год перехо-
дят в i+1 – ю группу, sn всегда равно нулю. Годовой приплод не зависит от коэффициента
выживаемости (это, конечно, упрощение задачи). Пусть известны p1, p2, … , pn – первона-
чально зафиксированное распределение популяций по группам, b1, b2, … , bn – коэффици-
енты рождаемости по группам, s1, s2, … , sn – коэффициенты выживаемости по группам.
Составить программу вычисления численности популяции через m лет.
4.19.Перебор
1. Получить все перестановки элементов 1, … , 6.
2. Получить все сочетания из 10 элементов 1, … , 10 по 4 элемента в каждом.
3. Получить все размещения из 9 элементов 1, … , 9 по 5 элементов в каждом.
