Аналитическая геометрия. Комплексные числа. Баркова Л.Н. - 11 стр.

                                               11
                                    x −x1   y −y1   z −z1
                                          =       =       .                      ( 16 )
                                    x2 −x1 y2 − y1 z2 −z1
     Введя обозначения : x2 −x1 =m ; y2 −y1 =n ; z2 −z1 = p                ,   получим
каноническую форму уравнений прямой:
                            x −x1 y −y1 z −z1
                                 =     =      ;                                   ( 17 )
                              m      n    p
здесь знаменатели    m; n и          p пропорциональны направляющим косинусам
прямой
                                   m : n : p =cosα : cos β : cos γ ,             ( 18 )
и мы имеем:
                              �                      m
                              � cosα =±
                              �                 m 2 +n 2 + p 2
                              �
                              �                       n
                              � cos β =±                         .               ( 19 )
                              �                 m 2 +n 2 + p 2
                              �                       p
                              � cos γ =±
                              ��     m 2 +n 2 + p 2
     Знак в формулах (19) может быть выбран по нашему произволу, но во всех
трех формулах должен быть один и тот же. Перемена знака соответствует
изменению положительного направления на прямой.
     Угол между двумя прямыми
                 x −a y −b z −c         x −a1 y −b1 z −z1
                      =     =       и         =        =              ( 20 )
                   m      n     p         m1        n1   p1
вычисляется по формуле:
                                            mm1 +nn1 + pp1
                     cos ϕ =±                                          .          ( 21 )
                             m 2 +n 2 + p 2 ⋅ m12 +n12 + p12
     Условие параллельности этих прямых:
                                 m n        p
                                   = = .                                          ( 22 )
                                 m1 n1 p1
Условие перпендикулярности прямых:
                                mm1 +nn1 + pp1 =0 .                    ( 23 )
     Большинство задач решается проще, если уравнения прямых имеют
каноническую форму (17), и очень важно уметь приводить систему общих
уравнений (14) к этому виду. Это может быть достигнуто следующим образом:
исключая из системы (14) один раз одну координату, другой раз другую, мы
переходим к системе (15), потом находим значения z из обоих уравнений (15) и
приравниваем их между собой: