Математика. Теория вероятностей. Баркова Л.Н - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым чер-
ного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по
формуле умножения вероятностей получаем: P(X
∩ Y) = 7/30.
Событие А называется независимым от события В (иначе: собы-
тия А и В называются независимыми), если Р(А/В) = Р(А). За определение
независимых событий можно принять следствие последней формулы и
формулы умножения
P(А
∩ В) = Р(А) Р(B). (2)
Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В рав-
на сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
( ) () () ( )PA B PA PB PAB+= + − . (3)
Пример 2. В посевах пшеницы на делянке имеется 95 % здоровых
растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди
них хотя бы одно окажется
здоровым.
Решение. Обозначим
1
A
– первое растение здорово;
2
A
– второе рас-
тение здорово;
1
A
+
2
A
– хотя бы одно растение здорово. Так как события
1
A
и
2
A
совместимые, то согласно формуле (3)
12 1 2 12
( ) ( ) ( ) ( ) 0,95 0,95 0,95 0,95 0,9975PA A PA PA PAA+= + − = + − ⋅ = .
7. Формула полной вероятности
Пусть события H
1
, H
2
,..., H
n
образуют полную группу событий, т.е.
1) все события попарно несовместны: H
i
∩ H
j
= Ø; i, j=1,2,...,n; i ≠ j;
2) их объединение образует пространство элементарных исходов Ω:
Ω = H
1
U H
2
U ... U H
n
.
Пусть А – некоторое событие: А
⊂ Ω (диаграмма Венна представлена
на рисунке 8).
Тогда имеет место формула полной вероятности:
P(A) = P(A/H
1
)P(H
1
) + P(A/H
2
)P(H
2
) +...+ P(A/H
n
)P(H
n
) 
черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым чер-
ного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по
формуле умножения вероятностей получаем: P(X ∩ Y) = 7/30.
     Событие А называется независимым от события В (иначе: собы-
тия А и В называются независимыми), если Р(А/В) = Р(А). За определение
независимых событий можно принять следствие последней формулы и
формулы умножения

                               P(А ∩ В) = Р(А) Р(B).                                  (2)

      Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В рав-
на сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

                           P ( A + B) = P( A) + P( B ) − P( AB) .                     (3)
      Пример 2. В посевах пшеницы на делянке имеется 95 % здоровых
растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди
них хотя бы одно окажется здоровым.
     Решение. Обозначим A1 – первое растение здорово; A2 – второе рас-
тение здорово; A1 + A2 – хотя бы одно растение здорово. Так как события
A1 и A2
совместимые, то согласно формуле (3)
     P( A1 + A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 A2 ) = 0,95 + 0,95 − 0,95 ⋅ 0,95 = 0,9975 .

       7. Формула полной вероятности
       Пусть события H1, H2,..., Hn образуют полную группу событий, т.е.
1) все события попарно несовместны: Hi ∩ Hj = Ø; i, j=1,2,...,n; i ≠ j;
2) их объединение образует пространство элементарных исходов Ω:

                              Ω = H1U H2U ... U Hn.

      Пусть А – некоторое событие: А ⊂ Ω (диаграмма Венна представлена
на рисунке 8).
      Тогда имеет место формула полной вероятности:

             P(A) = P(A/H1)P(H1) + P(A/H2)P(H2) +...+ P(A/Hn)P(Hn)


                                         13

Страницы