Математика. Теория вероятностей. Баркова Л.Н - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
Пример 1. В магазине продаются электролампы производства трех
заводов, причем доля первого завода – 30
%, второго – 50 %, третьего –
20
%. Брак в их продукции составляет соответственно 5 %, 3 % и 2 %. Ка-
кова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась
бракованной.
Решение. Пусть событие H
1
состоит в том, что выбранная лампа про-
изведена на первом заводе, H
2
на втором, H
3
– на третьем заводе. Очевид-
но, P(H
1
) = 3/10, P(H
2
) = 5/10, P(H
3
) = 2/10.
Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказа-
лась
бракованной; A/H
i
означает событие, состоящее в том, что выбрана брако-
ванная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи
следует: P (A/H
1
) = 5/10; P(A/H
2
) = 3/10; P(A/H
3
) = 2/10.
По формуле полной вероятности получаем
35 53 22 17
()
10 100 10 100 10 100 500
PA
=⋅ +⋅ +⋅ = .
Формула Байеса
Пусть H
1
,H
2
,...,H
n
– полная группа событий и А ⊂ Ω – некоторое со-
бытие. Тогда по формуле для условной вероятности
()
/)
()
(
k
k
PH A
A
PA
PH =
∩
(*)
Здесь P(H
k
/A) – условная вероятность события (гипотезы) H
k
или ве-
роятность того, что H
k
реализуется при условии, что событие А произошло.
По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно
представить в виде
P(H
k
∩ A) = P(A ∩ H
k
) = P(A /H
k
) P(H
k
)
Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать
формулу полной вероятности
()PA
1
(/ )( )
n
i
i
PAH PH
=
=
∑
i
      Пример 1. В магазине продаются электролампы производства трех
заводов, причем доля первого завода – 30 %, второго – 50 %, третьего –
20 %. Брак в их продукции составляет соответственно 5 %, 3 % и 2 %. Ка-
кова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась
бракованной.
      Решение. Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа про-
изведена на первом заводе, H2 на втором, H3 – на третьем заводе. Очевид-
но, P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10.
      Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказа-
лась
бракованной; A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбрана брако-
ванная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи
следует:   P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10.
      По формуле полной вероятности получаем

                           3 5    5 3    2 2    17
               P ( A) =     ⋅   + ⋅    + ⋅    =    .
                          10 100 10 100 10 100 500

                                Формула Байеса
     Пусть H1,H2,...,Hn – полная группа событий и А ⊂ Ω – некоторое со-
бытие. Тогда по формуле для условной вероятности

                                             P ( H k ∩ A)
                            P ( H k / A) =       P ( A)              (*)

     Здесь P(Hk/A) – условная вероятность события (гипотезы) Hk или ве-
роятность того, что Hk реализуется при условии, что событие А произошло.
     По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно
представить в виде

                  P(Hk ∩ A) = P(A ∩ Hk) = P(A /Hk) P(Hk)

     Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать
формулу полной вероятности
                                    n
                          P( A) = ∑ P ( A / H i ) P( H i )
                                   i =1



                                          14

Страницы