Математика. Теория вероятностей. Баркова Л.Н - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин
X
и
Y равно сумме их математических ожиданий:
()()()
M
XY MX MY
+
=+.
Пример 1. Заданы n одинаково распределённых случайных величин
х
1
, х
2
, ..., х
n
с законом распределения
х
i
1 0
P p q
Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.
Решение.
M(
12
...
n
x
xx+++) =
12
( ... )
n
M
xx x
+
++ = np.
Теорема. Если случайные величины X и Y независимы, то
М( XY) = М( X ) · М(Y ).
Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины
2
Z
XY=+
, если известны математические ожидания случайных величин
X
и
Y
: ( ) 5, ( ) 3.
M
XMY==
Решение. Используя свойства 2 и 3 математического ожидания, по-
лучаем
() ( 2) ( ) 2 () 5 2 3 11.
M
ZMX YMX MY
+= + =+⋅=
Пример 3. Независимые случайные величины заданы законами рас-
пределения
X
1 2
Y
0,5 1
p
0,2 0,8
p
0,3 0,7
Найти математическое ожидание каждой из данных величин:
Решение.
()10,220,81,8
M
X =⋅ + ⋅ = ,
( ) 0,5 0,3 1 0,7 0,15 0,7
M
Y =⋅+⋅= +.
Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математиче-
ское ожидание
() () ()1,80,851,53
M
XY M X M Y=⋅=⋅=. 
       3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и
          Y равно сумме их математических ожиданий:
                              M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) .

        Пример 1. Заданы n одинаково распределённых случайных величин
х1, х2, ..., хn с законом распределения
                                хi        1          0
                                P         p          q
Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.
     Решение.

                 M( x1 + x2 + ... + xn ) = M ( x1 + x2 + ... + xn ) = np.

      Теорема. Если случайные величины X и Y независимы, то

                             М( X Y ) = М( X ) · М(Y ).

      Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины
Z = X + 2Y , если известны математические ожидания случайных величин
X и Y : M ( X ) = 5, M (Y ) = 3.

     Решение. Используя свойства 2 и 3 математического ожидания, по-
лучаем
          M ( Z ) = M ( X + 2Y ) = M ( X ) + 2 M (Y ) = 5 + 2 ⋅ 3 = 11.
     Пример 3. Независимые случайные величины заданы законами рас-
пределения
                        X       1        2 Y 0,5   1
                     p         0,2 0,8     p 0,3  0,7
     Найти математическое ожидание каждой из данных величин:
     Решение.
     M ( X ) = 1 ⋅ 0,2 + 2 ⋅ 0,8 = 1,8 ,
       M (Y ) = 0,5 ⋅ 0,3 + 1 ⋅ 0,7 = 0,15 + 0,7 .
Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математиче-
ское ожидание

M ( XY ) = M ( X ) ⋅ M (Y ) = 1,8 ⋅ 0,85 = 1,53 .


                                           21

Страницы