Математика. Теория вероятностей. Баркова Л.Н - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
Свойства функции распределения
1. 0()1FX≤≤, lim ( ) 0
x
Fx
→−∞
=
, lim ( ) 1
x
Fx
→+∞
=
2. ( )FX – неубывающая функция, т. е., если
12
x
x
<
, то
12
() ().Fx Fx<
3. Вероятность попадания случайной величины
X в полуинтервал
[, )
ad равна разности между значениями функции распределения в правом
и левом концах интервала (,)
ab :
()()()
Pa X b Fb Fa≤<= −
Пример 1. Случайная величина задана функцией распределения
0, 1
1
() , 1 3
44
1, 3
при x
x
Fx при x
при x
≤−
⎧
⎪
⎪
=
+−<≤
⎨
⎪
>
⎪
⎩
.
Найти вероятность того, что в результате испытания с.в.
X примет
значение, принадлежащее полуинтервалу [0,2).
Решение. Так как на полуинтервале [0,2) ( )
FX=
1
44
x
+
, то
1111
(0 2) (2) (0) .
2442
PX F F≤<= − =+−=
Дифференциальной функцией распределения непрерывной случай-
ной величины
X (или ее плотностью вероятности) называется функция
()
f
x равная производной интегральной функции:
()
f
x =
()Fx
P(a ≤ X ≤ b) =
()
b
a
f
xdx
∫
. (3) 
      Свойства функции распределения

      1. 0 ≤ F ( X ) ≤ 1 , lim F ( x) = 0 , lim F ( x) = 1
                          x →−∞                x →+∞


      2. F ( X ) – неубывающая функция, т. е., если x1 < x2 , то F ( x1 ) < F ( x2 ).

        3. Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал
[a, d ) равна разности между значениями функции распределения в правом
и левом концах интервала (a, b) :

                             P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a )

      Пример 1. Случайная величина задана функцией распределения

                                        ⎧0, при x ≤ −1
                                        ⎪x 1
                                        ⎪
                              F ( x) = ⎨ + , при − 1 < x ≤ 3
                                                             .
                                       ⎪4 4
                                       ⎪⎩1, при x > 3


     Найти вероятность того, что в результате испытания с.в. X примет
значение, принадлежащее полуинтервалу [0,2).

                                                       x 1
      Решение. Так как на полуинтервале [0,2) F ( X ) = + , то
                                                       4 4

                                                             1 1 1 1
                  P (0 ≤ X < 2) = F (2) − F (0) =             + − = .
                                                             2 4 4 2

        Дифференциальной функцией распределения непрерывной случай-
ной величины X (или ее плотностью вероятности) называется функция
 f ( x) равная производной интегральной функции:

                                          f ( x) = F ′( x)

                                                     b
                          P(a     ≤   X   ≤   b) =   ∫ f ( x ) dx .
                                                     a
                                                                                  (3)




                                              25

Страницы