Математика. Теория вероятностей. Баркова Л.Н - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Это равенство можно также рас-
сматривать как определение функции
()
f
x . Отсюда следует, что вероятность
попадания случайной величины в лю-
бой интервал (
х
1
, х
2
) равна площади фи-
гуры, образованной отрезком [
х
1
, х
2
] оси
х, графиком функции ()
f
x и вертикаль-
ными прямыми
х = х
1
, х = х
2
, как изображено на рисунке 1.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат ин-
тервалу (
а; b), то для ()
f
x – её плотности распределения справедливо ра-
венство
() 1
b
a
f
xdx
=
∫
Для удобства иногда считают функцию ()
f
x определённой для всех зна-
чений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются воз-
можными значениями этой случайной величины.
Плотностью распределения вероятности может служить любая ин-
тегрируемая функция ()
f
x , удовлетворяющая двум условиям:
1)
()
f
x ≥ 0 , ( , )
x
∈−∞∞;
2)
() 1
f
xdx
∞
−∞
=
∫
В качестве примера рассмотрим случайную величину
X
, равномер-
но распределённую
на промежутке [a; b]. В этом случае ()
f
x постоянна
внутри этого промежутка:
()
0;
caxb
fx
x
ax b
≤≤
⎧
=
⎨
>
⎩
.
По свойству 2) функции ()
f
x
() ( ) 1
b
a
fxdx cdx cb a
∞
−∞
=
=−=
∫∫
px
()
x
x
1
x
2
Рис. 1
f(x) 
                                                              Это равенство можно также рас-
     f(x)
            p(x)                                     сматривать как определение функции
                                                      f ( x) . Отсюда следует, что вероятность
                                                     попадания случайной величины в лю-
     x1             x2                       x       бой интервал (х1, х2) равна площади фи-
                    Рис. 1                           гуры, образованной отрезком [х1, х2] оси
                                                     х, графиком функции f ( x) и вертикаль-
ными прямыми х = х1, х = х2, как изображено на рисунке 1.
      Если все возможные значения случайной величины принадлежат ин-
тервалу (а; b), то для f ( x) – её плотности распределения справедливо ра-
венство
                                             b

                                             ∫ f ( x)dx = 1
                                             a


Для удобства иногда считают функцию f ( x) определённой для всех зна-
чений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются воз-
можными значениями этой случайной величины.
     Плотностью распределения вероятности может служить любая ин-
тегрируемая функция f ( x) , удовлетворяющая двум условиям:
     1) f ( x)       ≥   0 , x ∈ (−∞, ∞) ;
             ∞
     2)      ∫
             −∞
                  f ( x)dx = 1

     В качестве примера рассмотрим случайную величину X , равномер-
но распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае f ( x) постоянна
внутри этого промежутка:

                                                ⎧c a ≤ x ≤ b
                                       f ( x) = ⎨                .
                                                ⎩ 0 x < a; x > b

По свойству 2) функции f ( x)

                                 ∞               b

                                 ∫
                                 −∞
                                      f ( x)dx = ∫ cdx = c(b − a ) = 1
                                                 a




                                                     26

Страницы