Математика. Теория вероятностей. Баркова Л.Н - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
b]. Ранее было получено выражение для плотности распределения такой
случайной величины:
0 при
1
() при
0 при
x
a
f
xaxb
ba
x
b
<
⎧
⎪
⎪
=≤≤
⎨
−
⎪
>
⎪
⎩
,
222
111
()
222
b
b
a
a
x
ba ab
MX xdx
ba ba ba
−
+
=== =
−−−
∫
.
Точка
2
ab+
лежит в середине промежутка [a; b], и этот результат можно
было получить, используя второе из приведённых выше свойств математи-
ческого ожидания непрерывной случайной величины.
()
()
2
2
2
11
()
24
bbbb
aaaa
ab
ab
DX x dx xdx a b xdx dx
ba ba
⎛⎞
+
+
⎛⎞
=− = −+ + =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎝⎠
∫∫∫∫
(
)
(
)
()
()()
()
()
22
22
33
1
32 4 12
abb a
ab ba ba
ba
ba ba ba
+−
+− −
−
=− + =
−−−
.
Отсюда видно, что чем длиннее промежуток, тем больше дисперсия слу-
чайной величины, равномерно распределённой на этом промежутке.
Примеры распределений.
1. ( )X
ω
имеет биномиальное распределение с параметрами
, ( 1, 2,..., 0 1)npn p=≤≤. Если
}
(1 ) , 0,1,2,...,
kk nk
kn
PX x Cp p k n
−
== − = .
Коротко записывают X~ (, )
B
inp . Такая случайная величина может
быть интерпретирована как число «успехов» в n испытаниях Бернулли с
вероятностью успеха p в каждом конкретном испытании.
2. Говорят, что случайная величина
X имеет распределение Пуассо-
на с параметром (0)
λ
λ
> , если {}
!
k
PX k e
k
λ
λ
−
== , 0,1,,...,kn
=
. Коротко
пишут X~
0
()P
λ
. 
b]. Ранее было получено выражение для плотности распределения такой
случайной величины:

                                     ⎧ 0       при        xb

                              b                    b
                       1             1 x2                 1 b2 − a 2 a + b
                     b − a ∫a
            M (X ) =          xdx =                    =            =      .
                                    b−a 2          a
                                                         b−a 2         2

       a+b
Точка       лежит в середине промежутка [a; b], и этот результат можно
         2
было получить, используя второе из приведённых выше свойств математи-
ческого ожидания непрерывной случайной величины.

                                        1 ⎛ 2                            ( a + b) b ⎞
             b           2                    b                  b               2
              ⎛     a+b⎞ 1
   D( X ) = ∫ ⎜ x −    ⎟         dx =       ⎜ ∫ x dx − ( a + b ) ∫ xdx +           ∫ dx ⎟ =
              ⎝      2 ⎠   b − a      b − a ⎜                                4          ⎟
            a                               ⎝a                   a                 a    ⎠

            1 b3 − a 3 ( a + b ) ( b − a ) ( a + b ) ( b − a ) ( b − a )
                                    2   2           2                    2

         =            −                   +                   =            .
           b−a 3            2 (b − a )         4 (b − a )          12

Отсюда видно, что чем длиннее промежуток, тем больше дисперсия слу-
чайной величины, равномерно распределённой на этом промежутке.
     Примеры распределений.
     1. X (ω ) имеет биномиальное распределение с параметрами
n, p (n = 1, 2,..., 0 ≤ p ≤ 1) . Если P { X = xk } = Cnk p k (1 − p ) n − k , k = 0,1,2,..., n .
        Коротко записывают X~ Bi (n, p ) . Такая случайная величина может
быть интерпретирована как число «успехов» в n испытаниях Бернулли с
вероятностью успеха p в каждом конкретном испытании.
     2. Говорят, что случайная величина X имеет распределение Пуассо-
                                                            −λ   λk
на с параметром λ (λ > 0) , если P{ X = k} = e                        ,   k = 0,1,,..., n . Коротко
                                                                 k!
пишут X ~ P0 (λ ) .


                                              29

Страницы