Математика. Теория вероятностей. Баркова Л.Н - 30 стр.

       3. Говорят, что случайная величина X имеет нормальное распреде-
ление с параметрами μ , σ 2 , ( μ ∈ (−∞, ∞),σ > 0) , если плотность распреде-
ления вероятностей имеет вид
                                         ( x − μ )2
                               1     −
                     f ( x) =      e       2σ 2
                                                      ,   x ∈ (−∞, ∞) .
                              2π σ
Коротко пишут X ~ N ( μ ,σ 2 ) .
       Пример 1. Плотность распределения случайной величины ξ имеет
вид

                                 ⎧⎪ c cos x − π / 2 ≤ x ≤ π / 2
                        p ( x) = ⎨                              .
                                  ⎪⎩ 0 x < −π / 2; x > π / 2

       Найти M ( X ) , D( X ), F(x), P (π / 6 < х < π / 3).
     Решение. Сначала определим величину параметра с. По свойству
             π /2                                   1
нормировки c ∫ cos xdx = 1 . Отсюда следует, что c = . Математическое
             −π / 2                                 2
ожидание случайной величины равно 0, так как плотность распределения –
чётная функция. Дисперсию случайной величины определим по формуле
             π /2
         1
D( X ) =    ∫
         2 −π / 2
                  x 2 cos xdx . Вычислив определённый интеграл, получаем

D( X ) = π2 / 4 – 1. Функция F(x) на промежутке (–∞; –π/2) равна нулю, на
промежутке (–π / 2; π / 2) эта функция равна (1 + sin x ) / 2, на промежутке
                                                              3 −1
(π / 2;∞) функция равна 1. P (π / 6 < ξ < π / 3) = (1 + sin x) / 2 ππ // 36 =
                                                                   .
                                                               4
Пусть случайная величина X – число очков, выпавших при подбрасыва-
нии игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины X .
      Пример 2. X ~ N (0,1) . Какое из двух событий { X ≥ 0,7} или
{ X ≤ 0,7} имеет большую вероятность?
     Решение. Плотность распределения вероятностей случайной величи-
ны X имеет вид
                          1
                 f ( x) =    exp(− x 2 / 2), x ∈ (−∞, ∞ ) .
                          2π
Функция распределения нормально распределенной случайной величины с
параметрами 0 и 1 называют функцией Лапласа и обозначают
                                               30