Математика. Теория вероятностей. Баркова Л.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упо-
рядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества
M
(множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элемен-
тов по k элементов обозначается
k
n
A
(читается «А из n по k»).
Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета:
1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и на-
значить их на 5 различных должностей?
2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в
ряд на полке?
В задачах о размещениях полагается
kn
<
. В случае, если kn= , то
легко получить !
k
nn
A
Pn==
Для подсчета
k
n
A
используем тот же метод, что использовался для
подсчета
n
P , только здесь возьмем лишь k ячеек. Первую ячейку можно за-
полнить
n способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить n–1
способами. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней
k-й
ячейки. Эту ячейку при заполненных первых
k–1 ячейках можно заполнить
n – (k – 1) способами (или n – k + 1). Таким образом все k ячеек заполняются
числом способов, равным
!
( 1)( 2)...( 2)( 1)
()!
n
nn n n k n k
nk
− − −+ −+ =
−
.
Отсюда получаем:
!
()!
k
n
n
A
nk
=
−
.
Пример 2. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кан-
дидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?
Решение. Искомое число получим по формуле числа размещений:
4
9
9! 9!
9 8 7 6 3024
(9 4)! 5!
A ===⋅⋅⋅=
−
.
Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмно-
жества, состоящие из k элементов множества
M
(множества, состоя-
щего из n элементов).
Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных
элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).
Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается
k
n
C (чи-
тается «C из n по k»). 
     Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упо-
рядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества M
(множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элемен-
тов по k элементов обозначается Ank (читается «А из n по k»).
      Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета:
1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и на-
значить их на 5 различных должностей?
2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в
ряд на полке?
      В задачах о размещениях полагается k < n . В случае, если k = n , то
легко получить Ank = Pn = n!
      Для подсчета       Ank    используем тот же метод, что использовался для
подсчета Pn , только здесь возьмем лишь k ячеек. Первую ячейку можно за-
полнить n способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить n–1
способами. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней k-й
ячейки. Эту ячейку при заполненных первых k–1 ячейках можно заполнить
n – (k – 1) способами (или n – k + 1). Таким образом все k ячеек заполняются
                                                                             n!
числом способов, равным        n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 2)(n − k + 1) =           .
                                                                          (n − k )!

Отсюда получаем: Ank =            n! .
                               (n − k )!

     Пример 2. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кан-
дидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?
     Решение. Искомое число получим по формуле числа размещений:
                               9!    9!
                      A94 =         = = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 .
                            (9 − 4)! 5!
     Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмно-
жества, состоящие из k элементов множества M (множества, состоя-
щего из n элементов).
     Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных
элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).
      Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается Cnk (чи-
тается «C из n по k»).

                                           9

Страницы