Физика. Электричество и магнетизм. Барсуков В.И - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6.2. СОБСТВЕННЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
Любой реальный контур обладает омическим сопротивлением.
В
реальном контуре
электромагнитная
энергия
, запасённая в начале колебаний, постепенно
пре-
вращается в тепло
. Колебания вследствие этого затухают.
Составим дифференциальное уравнение собственных затухающих колебаний. Из закона изменения
энергии следует, что убыль энергии электрического и магнитного полей контура за время
dt
равна ко-
личеству выделившегося в контуре тепла:
Rdti
C
qLi
d
2
22
22
=
+−
. (6.2.1)
Найдём дифференциал величины, стоящей в скобках, и разделим обе части уравнения на
dt
. Полу-
чим
.
2
Ri
C
qq
iLi
=−−
&
&
Перенесем
i
2
R
в левую часть, умножим обе части уравнения на (–1) и разделим все слагаемые на
Li
:
.0
1
=++
q
LC
i
L
R
i
&
Обозначим
qi
&&
&
=
,
qi
&
=
,
β= 2
L
R
,
2
0
1
ω=
LC
.
Получим искомое дифференциальное уравнение:
02
2
0
=ω+β+
qqq
&&&
. (6.2.2)
Решение этого уравнения при
0
ω<β
имеет вид
(
)
,cos
00
ϕ+ω=
⋅β−
teqq
t
m
(6.2.3)
где
0
m
q
– начальная амплитуда заряда;
22
0
β−ω=ω
– циклическая частота колебаний.
3. Как видно из (6.2.3), собственные затухающие колебания не являются гармоническими: амплиту-
да таких колебаний с течением времени уменьшается по закону:
t
m
eqA
⋅β−
=
0
. Показатель β называется
коэффициентом затухания. График
q = q
(
t
) собственных затухающих колебаний изображен на рис. 6.4.
4. Разделив (6.2.3) на
С
, найдём закон изменения напряжения
Рис. 6.3
t
t
t
t
t
t
u
i
ε
s
W
Е
W
В
Рис. 6.4
t
0
q
q
m
0
q = q
m
0
е
–β
t
q = –q
m
0
е
–
β
t
–q
m
0

Страницы