Физика. Электричество и магнетизм. Барсуков В.И - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2. Пусть электрическое поле создано свободным положительным точечным зарядом
+
q
(знак заряда
мы выбрали произвольно; заряд находится в однородной, безграничной, изотропной среде). Охватим
мысленно этот заряд произвольной замкнутой поверхностью
S
(рис. 1.16).
Вычислим поток вектора
D
r
через эту поверхность. Так как поле точечного заряда неоднородно, а
выбранная нами поверхность имеет произвольную форму, при вычислении потока нам придётся
интег-
рировать.
Рис. 1.16
Найдём сначала поток индукции через элементарную площадку
dS
. Нормаль к этой площадке обра-
зует с направлением
D
r
в том месте, где находится площадка, угол
α
(рис. 1.16). Согласно определению
потока:
α
=
cos
DdSdN
.
Выделенная нами площадка отстоит от заряда, создающего поле, на расстоянии
r
. Следовательно,
индукция поля в том месте, где находится площадка, равна (1.5.8):
.
4
2
r
q
D
π
=
где
0
cos
dSdS
=α
– проекция площадки
dS
на плоскость, перпендикулярную радиальной прямой
r
. Таким
образом,
.
4
2
0
r
qdS
dN
π
=
Обратим внимание на величину
2
0
r
dS
. Так как площадка
0
dS
бесконечно мала, её можно рассматри-
вать как участок сферической поверхности радиуса
r
, но тогда
Ω=
d
r
dS
2
0
– телесный угол, под которым
видна площадка
dS
из точки, где находится заряд
q
. Следовательно,
Ω
π
=
d
q
dN
4
. (1.10.1)
Вся поверхность
S
видна из точки, где находится заряд, под телесным углом
π
4
. Суммирование
элементарных потоков по
S
свелось к суммированию по Ω от
0
до
π
4
:
∫
π
=Ω
π
=
4
0
4
qd
q
N
. (1.10.2)
Итак, мы нашли, что поток вектора
D
r
через
произвольную
замкнутую
поверхность
S
равен
q
, где
q
–
свободный заряд
, заключённый
внутри объёма
, ограниченного этой поверхностью.
«Источниками»
линий индукции являются свободные заряды.
3. Формулу (1.10.2) нетрудно обобщить на случай поля, созданного любой системой точечных или
протяжённых зарядов. В этом случае под
q
в формуле (1.10.2) следует понимать алгебраическую сумму
свободных зарядов, попадающих внутрь объёма, ограниченного поверхностью
S
. Покажем это. Пусть в
объёме, ограниченном выбранной поверхностью, находится
n
точечных зарядов:
n
qqq
...,,,
21
. Поток ин-
дукции сквозь эту поверхность, обусловленный наличием заряда
1
q
, согласно (1.10.2), равен
;
11
qN
=
поток, обусловленный зарядом
,
2
q
,
22
qN
=
и т.д. Полный поток индукции, пронизывающий рассматриваемую поверхность, равен алгебраической
сумме потоков
n
NNN
...,,,
21
:
n
NNNN
+++= ...
21
.

Страницы