Физика. Электричество и магнетизм. Барсуков В.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Подставим вместо
n
NNN
...,,
21
заряды
....,,
21
n
qqq
Получим
∑
=
=+++=
n
i
in
qqqqN
1
21
...
. (1.10.3)
Обратим внимание на то, что суммирование здесь распространяется только на те заряды, которые
охватываются
поверхностью, находятся
внутри
объёма, ограниченного поверхностью.
4. Если заряды распределены непрерывно, то
∫
′
ρ=
V
dVq
или
∫
′
σ=
S
dSq
, или
∫
′
τ=
l
dlq
, где
τσρ
,,
– со-
ответственно объёмная, поверхностная и линейная плотности зарядов;
lSV
′
′
′
,,
– объём, поверхность,
линия, по которым распределены заряды, попадающие внутрь поверхности
S
.
5. Если замкнутая поверхность
S
не охватывает
заряд, то
поток
вектора
D
r
через такую поверхность
равен
нулю.
Убедимся в этом.
Построим коническую поверхность,
касательную
к поверхности
S
и с вершиной в точке, где нахо-
дится заряд
q
(рис. 1.17). Точки касания конической поверхности образуют линию, которая рассекает
всю поверхность
S
на две части –
S
1
и
S
2
. Обе эти части видны из точки, где
находится заряд, под одним и тем же телесным углом
Ω
. Следовательно, потоки, пронизывающие
S
1
и
S
2
по (1.10.1),
равны по величине
:
21
NN
=
.
Легко видеть, однако, что эти
потоки противоположны по знаку
:
0,0
21
><
NN
(углы между
D
r
и
n
r
во всех точках поверхности
S
2
– острые, а во всех точках поверхности
S
1
– тупые). Поэтому
.0
21
=+=
NNN
Если привлечь «геометрическое» определение потока, то рассуждения будут ещё проще: так как
внутри поверхности
S
свободных зарядов
нет
, линии индукции ни начинаются, ни обрываются внутри
объёма, ограниченного поверхностью, т.е. идут, не разрываясь. Число линий,
входящих
в объём,
равно
числу линий,
выходящих
из него. Поток, образованный выходящими линиями, положителен; поток, об-
разованный входящими линиями – отрицателен. Следовательно, полный поток сквозь такую поверх-
ность равен нулю.
6. Если поток рассчитывается через
замкнутую
поверхность, то записывается так:
.
∫
=
S
n
dSDN
(1.10.4)
Кружок у знака интеграла означает, что суммирование ведётся по всем элементам поверхности
S
.
7. Теперь можно дать окончательную формулировку теоремы Гаусса и её математическую запись:
Поток вектора индукции электростатического
(
и только электростатического
!)
поля через произ-
вольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой
поверхностью:
,
qdSDN
S
n
==
∫
(1.10.5)
где
q
–
полный свободный
заряд, находящийся в объёме, ограниченном поверхностью
S
.
8. Как видно из формулы (1.10.5), единицей потока индукции в системе СИ является
кулон
.
Кулон
– это полный поток вектора
D
r
, проходящий через произвольную замкнутую поверхность,
если внутри её сосредоточен свободный заряд в 1 кулон.
1.11. ophlememhe Šenpel{ c`rqq` j p`q)ЁŠr
}kejŠph)eqjhu onkei
1. Как уже отмечалось, теорема Гаусса облегчает математическое решение задачи расчёта полей,
т.е. нахождение характеристик
E
r
и
D
r
. Заметим, однако что она действительно облегчает эту задачу
только в том случае, если:
а) электрическое поле обладает
симметрией
;
Рис. 1.17

Страницы