Физика. Электромагнетизм. Часть 2. Электромагнитная индукция, магнитные свойства вещества, электромагнитные колебания и волны. Барсуков В.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
2
Ri
C
qq
iLi =−−
&
&
Перенесем i
2
R в левую часть, умножим обе части уравнения на (–1) и разделим все слагаемые на Li
.0
1
=++ q
L
C
i
L
R
i
&
Обозначим
qi
&&
&
=
, qi
&
= , β= 2
L
R
,
2
0
1
ω=
L
C
.
Получим искомое дифференциальное уравнение:
02
2
0
=ω+β+ qqq
&&&
. (14.2)
Решение этого уравнения при
0
ω<β имеет вид
(
)
,cos
00
ϕ+ω=
⋅β−
teqq
t
m
(14.3)
где
0m
q – начальная амплитуда заряда;
22
0
β−ω=ω – циклическая частота колебаний.
3 Как видно из (14.3), собственные затухающие колебания не являются гармоническими: амплиту-
да таких колебаний с течением времени уменьшается по закону:
t
m
eqA
⋅β−
=
0
.
Показатель β называется коэффициентом затухания.
На рис. 31 изображен график q = q(t) собственных затухающих колебаний.
4 Разделив (14.3) на С, найдем закон изменения напряжения
(
)
,cos
00
ϕ+ω=
β−
teUU
t
m
(14.4)
где
0m
U – амплитуда заряда в начальный момент времени.
5 Чтобы найти закон изменения тока, продифференцируем (14.3) по времени
(
)( )
[
]
000
sincos ϕ+ωω−ϕ+ωβ−==
β−
tteqqi
t
m
&
. (14.5)
Умножим и разделим правую часть этого выражения на ω
0
() ()
.sincos
0
0
0
0
00
ϕ+ω
ω
ω
−ϕ+ω
ω
β
−ω=
β−
tteqi
t
m
Введем величину ψ, удовлетворяющую условиям:
00
sin,cos
ω
ω
=ψ
ω
β
−=ψ
.
Обозначим также
00
0
mm
Iq =ω . Тогда выражение для тока приобретет вид
(
)
(
)
[]
000
sinsincoscos ϕ+ωψ−ϕ+ωψ=
β−
tteIi
t
m
.
Рис. 31
t
0
q
q
m0
q = q
m0
е
–
β
t
q = –q
m0
е
–
β
t
–q
m0

Страницы