Теория вероятностей. Учебное пособие. Барышева В.К - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.5. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ 41
число теоретических и практических задач сводится к схе-
ме последовательных независимых испытаний, даже если
они не последовательны во времени.
Рассмотрим опыт, состоящий в проведении серии n
независимых испытаний, в каждом из которых некоторое
событие A может произойти с одной и той же вероятностью
P (A) = p и не произойти с вероятностью q = 1 − p. Подсчи-
таем вероятность P
n
(m) события: {СОБЫТИЕ A В СЕРИИ ИЗ n
ИСПЫТАНИЙ ПРОИЗОШЛО РОВНО m РАЗ}. Тогда вероятность
элементарного события ω
i
:
{ СОБЫТИЕ A ПРОИЗОШЛО РОВНО m РАЗ И НЕ ПРОИЗОШЛО
n − m РАЗ}
будет равна произведению вероятностей соответствующих
событий:
p ·p ·. . . ·p ·(1 −q) ·(1 −q) ·. . . ·(1 −q) = p
m
·(1 −p)
n−m
= p
m
·q
n−m
.
Рис. 1.12. Пример реализации серии независимых испытаний. Светлые точки
— событие произошло; темные точки — событие не произошло
Число таких элементарных событий ω
i
, составляющих
интересующее нас событие, равно числу всевозможных ре-
ализаций последовательностей появлений и непоявлений
(рис. 1.12) события A, т.е. числу сочетаний из n по m.
P
n
(m) = C
m
n
p
m
(1 − p)
n−m
(1.17)
Эта формула называется формулой Бернулли или би-
номиальной формулой. Правая часть формулы Бернулли
представляет собой общий член разложения бинома Нью-
тона:
(p + q)
n
=
n
X
i=0
C
n−i
n
p
n−i
q
i
. (1.18)
Первый член этой формулы — p
n
— дает вероятность
наступления события A n раз в n опытах; второй член — ве-
роятность наступления события (n−1) раз и не наступления

Страницы