Теория вероятностей. Учебное пособие. Барышева В.К - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

66 ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть проведено n опытов, в которых случайная вели-
чина X приняла m
1
раз значение x
1
, m
2
раз значение x
2
, . . . ,
m
k
раз значение x
k
, причем m
1
+ m
2
+ ··· + m
k
= n. Тогда
среднее арифметическое значение x всех значений равно
x =
x
1
m
1
+x
2
m
2
+...+x
k
m
k
n
= x
1
m
1
n
+ x
2
m
2
n
+ . . . + x
k
m
k
n
=
= x
1
p
1
∗ +x
2
p
2
∗ + . . . + x
k
p
k
∗,
где p
i
∗ =
m
i
n
— относительная частота значения x
i
.
Если число опытов достаточно велико, то относитель-
ная частота приближенно равна вероятности события.
Таким образом, математическое ожидание приближенно
равно среднему арифметическому наблюдаемых значений
случайной величины.
Выясним механический смысл математического ожи-
дания дискретной случайной величины.
Пусть возможные значения дискретной случайной ве-
личины x
1
, x
2
, . . . , x
n
являются координатами материальных
точек с массами p
1
, p
2
, . . . , p
n
, расположенных на числовой
прямой, причем
n
P
i=1
p
i
= 1. Тогда M[X] =
n
P
i=1
x
i
p
i
=
n
P
i=1
x
i
p
i
n
P
i=1
p
i
, т.е.
математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести
данной системы материальных точек.
Пусть X — непрерывная случайная величина и f(x) —
ее дифференциальная функция распределения или плот-
ность вероятности.
Математическим ожиданием непрерывной случайной
величины X называется число
M[X] = m
x
=
∞
Z
−∞
xf(x)dx, (2.13)
если этот несобственный интеграл сходится. Если он рас-
ходится, то непрерывная случайная величина X математи-
ческого ожидания не имеет.
Математическое ожидание функции ϕ(X) от случайной

Страницы