Метрология, стандартизация и сертификация. Баскаков В.С - 8 стр.

   Где σ - дисперсия; х - математическое ожидание.
   Для решения многих задач не требуется знания функции и плотности распределения
вероятностей, а вполне достаточными характеристиками случайных погрешностей служат их
простейшие числовые характеристики: математическое ожидание и среднеквадратическое
отклонение. Числовые вероятностные характеристики погрешностей, представляющие собой
неслучайные величины, теоретически определяются при конечном числе опытов. Практически
число опытов всегда ограничено, поэтому реально пользуются числовыми характеристиками,
которые принимают за искомые вероятностные характеристики и называют оценками
характеристик. Определение оценок числовых характеристик может быть выполнено по значи-
тельно меньшему числу наблюдений N (порядка 10-20).
   Пусть при измерении величины А N раз получен ряд значений х1, х2, х3, ... хn. Если число
измерений N достаточно велико, то за истинное значение измеряемой величины принимают
наиболее достоверное значение - среднее арифметическое (действительное)
                                      x + x 2 + ... + x n  1 N
                                  х= 1                    = ⋅ ∑ xi                     (2.3)
                                             N             N i =1
   Зная среднее арифметическое значение, можно определить отклонение результата единичного
измерения от среднего значения
                                           Δ i = xi − x                                 (2.4)
   Это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма
отклонения результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов
минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля
правильности вычислений.
   Среднее квадратическое отклонение (СКО) погрешности однократного измерения σ равно
                                                N

                                                ∑ (x − x)
                                                        i
                                                                   2


                                 σ ≅S =±        i =1
                                                                                       (2.5)
                                                       N −1
   В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем квадратическом
отклонении среднего арифметического σ х (средняя квадратическая погрешность результата
измерений)
                                                        N


                                            S
                                                       ∑ (x    i   − x)
                                                                          2


                             σ x = Sx = ±       =±      i =1
                                                                               (2.6)
                                           N        N ⋅ ( N − 1)
   где S x - оценка средней квадратической погрешности σХ ряда из N измерений.
   При оценке результатов измерений пользуются понятием предельно допустимой
(максимальной) погрешности ряда измерений
                                       Δ макс = 3 σ                            (2.7)
   Рассмотренные оценки результатов измерений, выражаемые одним числом, называют
точечными оценками. Поскольку подобную оценку обычно принимают за действительное
значение измеряемой величины, то возникает вопрос о точности и надежности полученной
оценки. Судят об этом по вероятности α того, что результат измерений (действительное
значение) отличается от истинного не более, чем на Δ. Это можно записать в виде
                                P{( х − Δ ) < A < ( х + Δ )} = α                    (2.8)
   Вероятность α называется доверительной вероятностью или коэффициентом надежности, а
интервал значений от х - Δ до х + Δ — доверительным интервалом. Обычно его выражают в
долях средней квадратической погрешности
                                     Δ = ±t a ( N ) ⋅ σ x                            (2.9)
    где ta (N) - табулированный коэффициент распределения Стюдента, который зависит от
                 доверительной вероятности α и числа измерений N (таблица 2.4).
   Результат измерения записывается в виде
                                      А= х ±Δ;α                                    (2.10)
   При расчетах необходимо пользоваться правилами округления, изложенными в разделе 1.1.