Математическая статистика. Обработка статистических данных. Корреляционная зависимость. Батуев Э.Н - 10 стр.

    4.2 Пусть дисперсия D(X) =σ2 известна. Для отыскания ε восполь-
зуемся тем, что x – нормальная случайная величина с математическим
                                             σ2
ожиданием М(Х) и дисперсией                           (центральная предельная теоре-
                                              n

                           (             ⎛ε ⋅ n ⎞
ма). В силу этого p X − M ( X ) < ε = 2Φ ⎜
                                         ⎜ σ ⎟
                                                  )
                                                ⎟ , где Φ(t) – функция
                                         ⎝      ⎠
                                ε⋅ n                                      γ
Лапласа. Обозначим t =               . По условию 2Φ(t) = γ, или Φ ( t ) = .
                                 σ 2
                                                                          2
Из таблицы значений функции Лапласа найдем tγ, такое, что
             γ                       σ
Φ ( tγ ) =       . Отсюда ε = tγ ⋅         и искомый интервал имеет вид:
             2                         n
      ⎛           σ             σ ⎞
      ⎜⎜ x − tγ ⋅    , x + tγ ⋅   ⎟⎟
       ⎝           n             n⎠
                                       σ                          σ
     Таким образом, x − tγ ⋅               < M ( X ) < x + tγ ⋅
                                                       , и вероятность то-
                              n                     n
го, что это утверждение неверно, равно β = 1 − γ.
     Пусть дисперсия неизвестна. В этом случае, случайная величина
                  x − M( X )
(статистика) T =             ⋅ n − 1 имеет распределение Стьюдента
                      S

                                                      ∑(      )
                                     1 k         2
с n – 1 степенями свободы, где S 2 =       xi − x ⋅ ni .
                                     n i=1
     По таблице распределения Стьюдента находим tγ такое, что
                                       P( T < tγ ) = γ .
     Это равенство означает, что
                             ⎛                     S ⎞
                           P⎜⎜ x − M ( X ) < tγ ⋅      ⎟⎟ = γ ,
                             ⎝                    n −1 ⎠
     отсюда доверительный интервал имеет вид
                           ⎛            S               S ⎞
                           ⎜⎜ x − tγ ⋅      , x + tγ ⋅      ⎟⎟.
                            ⎝          n −1            n −1 ⎠




                                              10