Математическая статистика. Обработка статистических данных. Корреляционная зависимость. Батуев Э.Н - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

5) Проверка статистических гипотез.
Любое предположение о генеральной совокупности Х, сделанные
на основе выборки, – статистическая гипотеза.
Правило, показывающее, когда статистическую гипотезу надо
принять, а когда отвергнуть, – статистический критерий.
Критерии, относящиеся к предположениям о виде функции рас-
пределения, называются критериями согласия.
Рассмотрим один из критериев согласия – критерий хи-квадрат
(или критерий Пирсона).
Пусть выдвинута гипотеза о том, что генеральная совокупность Х
имеет функцию распределения F(x) или плотность f(x). Далее, пусть
вся область изменения величины Х разбита на k интервалов (a
1
, a
2
], (a
2
,
a
3
], ..., (a
k
, a
k+1
], и пусть P
i
– вероятность для величины Х при гипоте-
тическом распределении F(x) попасть в интервал (a
i
, a
i+1
]:
12
()()()
∫
+
=−=<<=
++
1i
i
a
a
dx)x(faFaFaxaPP
i1i1iii
Пусть n
i
– число выборочных значений, попавших в интервал
(a
i
, a
i+1
]. Тогда
n
n
i
– относительная частота попадания в i-ый интервал
(статистическая вероятность попадания в интервал).
Если величины
n
n
i
и P
i
(i = 1, 2, ..., k) мало различаются, то ра-
зумно считать, что выдвинутая гипотеза не противоречит опытным
данным. Это обстоятельство лежит в основе
χ
2
.
Рассмотрим статистику
∑
=
−
=
k
1i
i
2
ii
2
nP
)nPn(
χ
2
крит
χ
()
βχχ
=≥
2
крит
2
P
.
При больших n статистика
χ
2
практически не зависит от гипотети-
ческого распределения F(x) и имеет распределение
χ
2
с r степенями
свободы, где r = k – m – 1, где m – количество неизвестных параметров
гипотетического распределения, оцениваемых по выборке.
Чтобы сформулировать правило проверки гипотезы, сначала зада-
ем уровень значимости
β (β = 0,05 или β = 0,1) и по таблице χ
2
с r сте-
пенями свободы и
β находим число такое, что выполняется ра-
венство
. 
      5) Проверка статистических гипотез.
      Любое предположение о генеральной совокупности Х, сделанные
на основе выборки, – статистическая гипотеза.
      Правило, показывающее, когда статистическую гипотезу надо
принять, а когда отвергнуть, – статистический критерий.
      Критерии, относящиеся к предположениям о виде функции рас-
пределения, называются критериями согласия.
      Рассмотрим один из критериев согласия – критерий хи-квадрат
(или критерий Пирсона).
      Пусть выдвинута гипотеза о том, что генеральная совокупность Х
имеет функцию распределения F(x) или плотность f(x). Далее, пусть
вся область изменения величины Х разбита на k интервалов (a1, a2], (a2,
a3], ..., (ak, ak+1], и пусть Pi – вероятность для величины Х при гипоте-
тическом распределении F(x) попасть в интервал (ai, ai+1]:
                                                                ai+1
               Pi = P(ai < x < ai+1 ) = F (ai+1 ) − F (ai ) =    ∫ f ( x ) dx
                                                                 ai

      Пусть ni – число выборочных значений, попавших в интервал
                  n
(ai, ai+1]. Тогда i – относительная частота попадания в i-ый интервал
                  n
(статистическая вероятность попадания в интервал).
                      n
      Если величины i и Pi (i = 1, 2, ..., k) мало различаются, то ра-
                       n
зумно считать, что выдвинутая гипотеза не противоречит опытным
данным. Это обстоятельство лежит в основе χ2.
                                    k
                                       ( ni − nPi )2
      Рассмотрим статистику χ 2 =
                                  i =1
                                          ∑ nPi
                                                     .

    При больших n статистика χ2 практически не зависит от гипотети-
ческого распределения F(x) и имеет распределение χ2 с r степенями
свободы, где r = k – m – 1, где m – количество неизвестных параметров
гипотетического распределения, оцениваемых по выборке.
    Чтобы сформулировать правило проверки гипотезы, сначала зада-
ем уровень значимости β (β = 0,05 или β = 0,1) и по таблице χ2 с r сте-
пенями свободы и β находим число χ крит 2
                                            такое, что выполняется ра-
венство
     P (χ 2 ≥ χ крит
                2
                     )= β .

                                           12

Страницы