Математическая статистика. Обработка статистических данных. Корреляционная зависимость. Батуев Э.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

2) Точечные оценки параметров.
Рассмотрим задачу определения неизвестных числовых парамет-
ров распределения Х. Вспомним некоторые основные моменты.
Пусть
θ – неизвестный параметр. Функция (статистика) от выбо-
рочных значений
θ* = f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) называется точечной оценкой θ,
если она дает некоторое приближенное значение
θ. Вспомним, что
выборка – это последовательность n независимых случайных величин,
распределенных как случайная величина Х. Поэтому
θ* – случайная
величина.
Оценка
θ* называется несмещенной, если ее математическое ожи-
дание равно оцениваемому параметру
θ, т.е. M(θ*) = θ.
Оценка
θ* называется состоятельной, если она сходится по веро-
ятности к оцениваемому параметру, т.е.
∀ ε > 0
(
)
εθθ
>−
∞→
*p
n
lim
= 0.
Оценка
θ* называется эффективной в некотором классе точечных
оценок, если ее дисперсия наименьшая среди дисперсий других оценок
из этого класса.
Естественно, имеет смысл использовать состоятельные и несме-
щенные (или хотя бы асимптотически несмещенные), и по возможно-
сти, эффективные оценки.
Некоторые точечные оценки:
•
∑
⋅
k
ii
nx – выборочное среднее, оценка для M(X);
=
=
1i
n
1
x
∑
=
=
k
1i
2
(
n
1
• ⋅−
ii
n)xx – выборочная дисперсия, оценка для
D(X);
S
•
3
– эмпирический коэффициент ассимет-
рии, характеризует ассиметрию графика функции плотности относи-
тельно графика плотности нормального распределения;
k
1i
i
3
i
S
n)xx(
n
1
∑
=
⋅−
=*A
• 3
i
− – эмпирический коэффициент экс-
цесса, характеризует «крутизну» графика плотности относительно
плотности нормального распределения с тем же M(X) и D(Х).
S
n)xx(
n
1
*E
4
k
1i
4
i
⋅−
=
∑
=
7 
     2) Точечные оценки параметров.
     Рассмотрим задачу определения неизвестных числовых парамет-
ров распределения Х. Вспомним некоторые основные моменты.
     Пусть θ – неизвестный параметр. Функция (статистика) от выбо-
рочных значений θ* = f(x1, x2, ..., xn) называется точечной оценкой θ,
если она дает некоторое приближенное значение θ. Вспомним, что
выборка – это последовательность n независимых случайных величин,
распределенных как случайная величина Х. Поэтому θ* – случайная
величина.
     Оценка θ* называется несмещенной, если ее математическое ожи-
дание равно оцениваемому параметру θ, т.е. M(θ*) = θ.
     Оценка θ* называется состоятельной, если она сходится по веро-
ятности к оцениваемому параметру, т.е. ∀ ε > 0        p (θ * −θ > ε ) = 0.   lim
                                                                               ∞
                                                                              n→

     Оценка θ* называется эффективной в некотором классе точечных
оценок, если ее дисперсия наименьшая среди дисперсий других оценок
из этого класса.
     Естественно, имеет смысл использовать состоятельные и несме-
щенные (или хотя бы асимптотически несмещенные), и по возможно-
сти, эффективные оценки.
     Некоторые точечные оценки:

              1       k

    •    x=
              n   ∑ x ⋅n
                  i =1
                                  i           i   – выборочное среднее, оценка для M(X);

                  1        k

    •    S2 =
                  n   ∑( x − x )⋅ n
                          i =1
                                      i                  i
                                                               – выборочная дисперсия, оценка для

D(X);
                            k
                  1
                  n       ∑( x − x )      i
                                                    3
                                                        ⋅ ni
    •    A* =             i =1
                             – эмпирический коэффициент ассимет-
                   S3
рии, характеризует ассиметрию графика функции плотности относи-
тельно графика плотности нормального распределения;

                            k
                  1
                  n       ∑( x − x )      i
                                                    4
                                                        ⋅ ni
    •    E* =               − 3 – эмпирический коэффициент экс-
                           i =1

                    S4
цесса, характеризует «крутизну» графика плотности относительно
плотности нормального распределения с тем же M(X) и D(Х).


                                                                  7

Страницы