Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 10 стр.

                       y = F(x)                                                y = F(x)
    y         а                                        y   б



a        x2                                x         x0=a x1                      x
                                                               x2
    x*            x1              x0 = b                            x*     b


              Рис. 1.5. Метод хорд: а – F(a)F″(a) > 0; б – F(a)F″(a) < 0
    Метод Ньютона (касательных). Как и предыдущий, этот
метод основан на замене исходного нелинейного уравнения (1.1)
линейным уравнением, которое можно легко решить. Иллюст-
рация метода представлена на рис. 1.6. Пусть x0 – начальное
приближение. Построим касательную к функции y = F(x), про-
ходящую через точку (x0, F(x0)). Найдем пересечение касатель-
ной: y = F ( x0 ) + F ′( x0 )( x − x0 )
                          F ( x0 )
с осью x: x1 = x0 −                .
                         F ′( x0 )      y
                                                y = F(x)
На следующей итерации в
качестве x0 надо взять вы-
численное значение x1.
Окончание итерационного
цикла, как и в методе хорд,               x*             x
выполняется по невязке                       x3 x2 x1 x0
уравнения: |F(x1)| < ε.
                                                Рис. 1.6. Метод Ньютона
    Как показывают практика и теоретические оценки, метод
Ньютона позволяет достаточно быстро получить решение. Не-
достатком метода является то, что для некоторых функций F(x)
при неудачном выборе начального приближения метод расходит-
ся. Ситуацию легко исправить, если выбрать x0 ближе к x*.
    Упрощенный метод Ньютона. Эта модификация метода
Ньютона используется, если производная F′(x) представляет со-
бой сложную функцию и для ее вычисления на каждой итерации
                                           12